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引言
引言
在经过了几个星期的阵列训练和30次实弹射击后，长官递给你一把火枪和一套鲜艳的红色制服，告诉你是时候上战场了，是为了国王而战。
身边爆开的炮弹猛然打断了你的思绪，激昂的乐曲、紧密的鼓点和发亮的军刀在催促你大步前行，而身边的人却不断地被看不见的力量猛然击倒。超越极限的恐惧换来的是空洞的麻木，你机械地跨过身前的尸体，端起火枪，开火、 装填 、瞄准、再次开火。
然后，似乎听力突然间恢复了，眼中的画面也有了色彩，敌人崩溃了。沉重的恐惧和求生的本能亟需一个宣泄的出口，你向逃跑的敌人发起了冲锋。
这一刻，你似乎找到了存在的意义。
希望前面的一段文字能够引起你的兴趣[1]。这一段故事的所描述的对象是17-19世纪的线列步兵（Line Infantry），虽然在大多数人的眼中，线列步兵可能是一种名为”排队枪毙“的滑稽的落后战术。但其实，线列步兵战术潜藏着精妙的数学模型，在这一战术被淘汰的一百多年之后，模型由弗雷德里克·兰切斯特[2]建立，并被发现广泛存在于各种领域。
注：本文涉及到一定的数学内容，如果了解过高等数学则有助于对其的理解；当然即使不看公式应该也可以读得很开心，希望你能有所收获，而这也就是本文的意义所在了。
兰切斯特定律
兰切斯特定律
兰切斯特定律（ Lanchester's laws ）是在1916年（第一次世界大战期间），由弗雷德里克·兰切斯特（Frederick Lanchester）和奥西波夫（M. Osipov）独立设计的一系列微分方程，用以描述交战双方兵力变化的关系。兰彻斯特定律包括两个部分：兰切斯特线性定律与兰切斯特平方律，通常分别适用于古代战场和现代战场[3]。
1.1 兰切斯特线性定律
1.1 兰切斯特线性定律
兰切斯特线性定律较为简单易懂，交战双方的单位损失只与对方的战斗效率和战场宽度有关——即在战场宽度固定的情况下，交战双方均以固定的速率消耗自身兵力，直至双方分出胜负。
- 数学描述
用数学公式来进行描述，线性定律可以表示为：
这里，m和n分别表示交战双方在t时刻的战斗单位数量，α表示对方的战斗效率系数，乘以战场宽度l即可得出单位时间内对方造成的单位损失数（故加上负号意为损失）。从公式可以看出，交战双方均以固定的速率消耗自身战力，直至双方分出胜负。
积分并整理兰切斯特线性定律得：
那么，兰切斯特线性定律可以告诉我们什么呢？
1.2 对线性定律的分析和讨论
1.2 对线性定律的分析和讨论
对兰切斯特线性定律的分析可以轻松得出一些很直观的结论（线性方程是很符合人类直觉的）：首先，对符合兰切斯特线性定律的情况（通常是古代的冷兵器战场），军队的总战斗能力为简单的作战单位数与战斗效率的乘积；交战双方展开在有固定长度的战场上以固定的损失速率进行交换；最后，也是最重要的一点，损失的兵力是简单的双方战力的差值。
如果是具体的例子，最鲜活的莫过于《全面战争》系列的历代战场了：当交战双方的近战部队接触时，双方部队中的前排士兵捉对厮杀，互相交换，前排倒下后排补上，双方进入了一个缓慢而稳定的消耗阶段，直至分出胜负。
在历史处于线性定律的时代，想要取得战场优势一般有两种方法：提高单位作战效率（即为系数α）或直接提高作战单位数量（即为m，n）。因此，在古代，一支受到良好训练、拥有足够出色单兵作战能力的部队通常能打出非常夸张的交换比。
就像电影《斯巴达300勇士》所描述的那样，几百名斯巴达精锐在温泉关抵挡了波斯帝国大军三天，并打出了至少1：5的交换比，成为历史上著名的以少战多的经典战役[4]。
但其实，温泉关战役得益于得天独厚的地形和历史因素，可以看作是一种特殊而罕见的数学模型。交战双方只能展开在一个非常狭窄的地形上，古代又缺乏优秀的远程杀伤能力。而骑兵等部队在这场战役中作用又非常有限，斯巴达人训练优秀作战能力极强的同时而又严重缺乏兵力，波斯帝国军队却恰恰与之相反。如此多的因素结合在一起，方才铸就了一场“一夫当关，万夫莫开”的特殊战役。
当然我们都知道，最后斯巴达人还是战败了，本质原因其实还是双方战力确实差距过大，单兵素质的优秀并不能弥补兵力上的绝对劣势，斯巴达人可以挡住波斯大军三天，却只不过是由于各种特殊条件下的一种无奈的暂时平衡。
当然，人人都爱英雄，不是么？
2.1 兰切斯特平方定律
2.1 兰切斯特平方定律
相比于线性定律，兰切斯特平方定律的适用性更广，现实意义也更强，你可以从相当多的情形中发现和找到兰切斯特平方定律的影子，它不仅适用于大多数的现代战场，你还可以从各种游戏中切身体会到它思想的精髓。
尽管兰切斯特平方定律的数学描述和数学分析可能存在一定的难度，但理解起来却也是相对直观且易懂的，交战双方的单位损失与对方的战斗效率和当前剩余单位数量有关——战斗能力不仅与战斗效率系数有关，还同时受到已损失的作战单位的影响。
- 数学描述
同样，兰切斯特平方定律有数学公式来描述：
同线性定律，m和n分别表示交战双方在t时刻的战斗单位数量，α表示对方的作战能力系数，但等式右边多了m和n这两个变量，而从公式可以看出，交战双方不再以固定的速率消耗自身兵力，而是与对方此时的兵力（即实时的作战能力）息息相关。
整理，得
详细的数学分析就不展开了，这条等式揭示的最为重要的事实是在符合兰切斯特平方定律的情况下，作战能力与作战能力系数α仅线性相关，而却随着参与作战兵力的增长而指数型增长！
这便揭示了（至少一部分）火药武器发明后的战争情势的变化：现代战争需要的便是——在尽可能短的时间内投放尽可能多的火力。
2.2 对平方定律的分析和讨论
2.2 对平方定律的分析和讨论
回到文章的开头，还记得那个例子吗？
火药武器的发明和大规模应用在相当程度上改变了战争的面貌。火药武器（应该）是第一种在经过简单训练后就能掌握的，远远超出人类本身力量的武器。从此，人类放弃了需要几年练习才能有所效果的弓箭，需要十几年训练和足够财力的板甲长剑，而兼具优秀速度和冲击力的骑兵也在不久后走向了没落。
而在这个过程中，线列步兵这个拥有接近300年寿命的战术，在直到另外一种改变战争的武器——机枪——把人类拖入堑壕战之前，都是人类的常规作战形式。你会发现，这一战术本身是一种看似冷酷而却绝对理性的逻辑选择。
和线性定律一样，兰切斯特平方定律探讨的便是理想情况下用以描述兵力变化的方程。而同线性定律所限定的情况不同，平方定律不再是在固定战线上的一一对决，而可以发挥出所有作战单位的全部火力。因此，当自身兵力受到损失时，也随之影响接下来的火力输出（对有一定数学基础的朋友来说，这应该很容易联想到与积分的关系，而这也是平方项存在的原因）。
因此，“排队枪毙”这一与直觉不符的战术便有了存在的意义和价值。当年的英国是贯彻线列步兵最为彻底的一个国家，开战前士兵通常排成二到四排的“散兵线”并尽量贴近敌兵，以图最大火力输出，当时甚至还出现过军官要求士兵不前行到敌军27米前不得开火的极端情况。
在英军行军过程中，对方军队往往在较远处便开火，而受限于当时的工艺和技术，火枪较远距离命中率很低，换弹很慢（一般熟练者为1分钟3发），射击后大量烟雾也会影响后续射击效果，更是在连续射击后会有不能保证精度甚至损坏的情况发生。而英军可能会在行军过程中付出四分之一士兵的代价，但到达近距离的首轮齐射就能造成更大伤亡，此消彼长，赢下战局也就不足为奇了。
而对兰切斯特平方定律详细分析后，我们可以得出一些可能有些反直觉的结论。
首先，兵力本身的重要程度远高于单个士兵的平均作战能力，比如，增加50%士兵数量的优势就足以媲美提高125%单位士兵的平均作战能力（1.5^2=2.25）。另外，集中优势兵力的作用远大于我们的想象，100名士兵对阵两批次各50的敌军，仅仅以29名士兵的代价就可以全歼对方的100名主力。
因此，在历史处于平方定律的时代，想要取得战场优势一般只用一种方法：直接提高作战单位数量（即为m，n）。所以进入相对现代的时代后，对大量士兵进行简单培训后迅速部署大规模部队的性价比远远高过了精心培养一小部分的优秀士兵，而英雄人物的传说故事也随之绝迹了。在之后的第一次世界大战和第二次世界大战，参与的人数和造成的伤亡更是创下了史以来最多的记录。
不过，第三次世界大战后，人类应该会重回线性定律的时代了，这一点作者对人类还是挺有信心的[5]。
3. 不止游戏
3. 不止游戏
接下来应该是文章最轻松有趣的内容，谈谈兰切斯特定律在游戏中奇妙的体现。由于现实情况通常都十分复杂，所以很难通过兰切斯特定律这一简单的模型来实现精确的模拟，一般只有参考价值。而游戏相对简单，需要考虑的因素也相对较少，因此可能更容易得出一些相对直观的结果，有兴趣的朋友甚至可以考虑进行些简单的模拟或计算。
比如，在作者个人看来，《星际争霸2》的ZVZ（虫族对虫族）就是一个特别好的例子。
游戏开始的前几分钟，虫族的作战单位基本只有跳虫这一基础兵种，近战，血少，攻击力相对较高，当数量上升到一定程度后（比如20个），战况就很接近符合线性定律的阶段，前面的跳虫在努力输出，后排的跳虫挤来挤去，缺一个补一个，进入了消耗战的局面。
而当任意一方玩家升级科技，点出“蟑螂”这个兵种后，跳虫几乎立刻就失去了性价比，蟑螂是一种血较厚，攻击力不错，体积较大而攻击间隔特长，输出距离也特短的远程兵种，很巧妙地对上了上文线列步兵“人多，威力大但换弹奇慢，有效距离特短”的特点。
玩家们的选择也同样很有意思：若有玩家点出了蟑螂，那么接下来的对局双方往往都会迅速暴出满人口的蟑螂，并开始了可能持续长达十几分钟200人口蟑螂互莽的局面，直到一方点出“另一种改变战争的科技”——放在历史上是马克沁，游戏里通常可能是“地刺”——高攻，AOE的战争收割机器。
而玩家们互莽蟑螂的战术就更有意思了，简直可以算是星际争霸版本的“排队枪毙”战术：每个人都尽可能地把自己的蟑螂分散开，形成长条的“散兵线”，甚至会顶着对面的火力强行拉近距离以图在首轮攻击中给对面最大的伤害。
而蟑螂对拼很少有两败俱伤的情况，有时获胜者甚至可以保留开战前一半的兵力，其实，胜负甚至在首轮交火时就可以确定了，而这也恰恰印证了线列步兵时期英国的特殊战术。
1 / 5
结语
结语
从游戏到生活，其实处处都有学问，希望这篇文章你可以看得开心，而若能从中有所收获，那就再好不过了。生命不息，游戏不止，祝各位能游戏开心！
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[1] 都是作者瞎写的，反正不要钱，多少信一点
[2] 来自弗雷德里克·兰切斯特维基百科页面
[3] 来自兰切斯特定律维基百科页面
[4]关于温泉关战役的相关数据，目前仍然十分模糊且很难考证，1：5的交换比应该是比较符合实际情况的一个数据，详细请见维基百科页面
[5] 爱因斯坦：“ I know not with what weapons World War III will be fought, but World War IV will be fought with sticks and stones （ 我不知道第三次世界大战时使用哪种武器进行战斗，但第四次世界大战时将是棍棒和石头 ）”————Johnson, M. Alex (18 April 2005). "The culture of Einstein". msnbc.com. Archived from the original on 8 February 2018. Retrieved 27 January 2018.
最后，如果对相关内容特别感兴趣，再推荐一篇文献： Johnson D D P, MacKay N J. Fight the power: Lanchester's laws of combat in human evolution[J]. Evolution and Human Behavior, 2015, 36(2): 152-163.
作者水平和笔力有限，难免会有些疏漏之处；欢迎朋友们多多参与讨论交流，也望各位大神不吝赐教，谢谢阅读！
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