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导语：最近沉迷《rFactor 2》不能自拔，每天下班回家都要插上方向盘跑几圈山路。恰好《赛车计划 2》即将发售，《Forza 7》也不远了，再晚些还有《GT Sport》，算是拟真向竞速游戏难得的大年。本文将会从轮胎谈起，对赛车动力学进行非常浅显的介绍，目的是希望能够帮助那些对这类游戏感兴趣，却担心缺乏基础知识而不敢上手的新玩家，希望大家都能享受拟真赛车的乐趣。
由于笔者工作之后从事的领域更偏向电控与仿真，对动力学方面的知识没有更加精进，再加上长时间不用导致的记忆偏差，难免会在文中出现错漏之处，希望相关领域的大佬们斧正。
一、为什么是轮胎
一、为什么是轮胎
看到一辆赛车，大多数人关注的焦点往往是它炫目的配色与夸张的空气动力学套件，对于开轮的方程式赛车来说，懂行一些的朋友可能还会去研究暴露在外的悬架的形式与结构，但静静地趴在地面上的四条轮胎，却是几乎所有人都会选择性忽视的存在。既然如此，为什么还要从轮胎谈起呢？
事实上，对于一辆赛车的性能表现来说，轮胎是最重要的单个部件之一，甚至可以把“之一”去掉，其对整车性能的影响超出大多数人的想象。原因也很简单，轮胎是一辆车上唯一与地面接触的部件，其他所有部件，诸如发动机、扩散器、避震器，对赛车产生的影响都要通过轮胎与地面相接触的这四片巴掌大小的面积来实现。正因为如此，所有的赛车在设计过程中都会对轮胎的选择极为谨慎，而那些专注于轮胎技术的厂商，也把赛车轮胎的性能钻研到了登峰造极的程度。
二、抓地力是如何产生的
二、抓地力是如何产生的
说到轮胎，赛车游戏玩家们的第一反应往往是“抓地力”这个词。抓地力（下文使用更为正式的名称“附着力”）代表了一辆车在游戏中最基础的感觉，即加速滑不滑，过弯稳不稳，以及在雨雪路面下保持不失控的能力有多强。那么附着力是如何产生，又与哪些因素相关呢？
1. 滑移率与侧偏角
1. 滑移率与侧偏角
显然，轮胎的附着力可以被分为纵向与侧向两个部分，分别进行讨论。纵向附着力直接关系到赛车的加速与制动性能，而侧向附着力则决定了赛车过弯时的最大侧向加速度，对圈速有着非常大的影响。
当车轮被装在车上以后，车身会通过悬架系统对轮胎施加一个垂直载荷，这是轮胎产生附着力的基础。用不太严谨的类比来说，这个垂直载荷就像摩擦力公式中的那个正压力，如果垂直载荷为零，那么一切的附着力都将无从谈起。但轮胎是个极为复杂的物理系统，并不像物理书里的小滑块那样可以被摩擦力公式简单地描述。对于一辆给定的赛车，车重一定，即垂直载荷一定，轮胎安装的定位角（详见本文第三章）也一定，那么忽略掉温度湿度等环境因素，轮胎产生的纵向和侧向附着力分别由一个变量决定：滑移率（slip ratio）与侧偏角（slip angle）。
先从决定纵向附着力的滑移率说起。滑移率的定义是：车速与驱动轮轮速之差，除以车速得到比值。想象轮胎与地面接触的那一块巴掌大的面积，把它称为轮胎的“印迹”，那么“印迹”范围内的橡胶分子与地面之间会产生一定程度的黏着效应。当赛车开始加速时，橡胶分子开始发生微观滑移，此时黏着效应会增强，使得地面对“印迹”范围内的橡胶分子产生向前的力。这一现象发生在 0.01 微米的规模上。
如果只考虑这一效应，那么轮胎的纵向附着力会随着滑移率增大而无限增大，显然这是有悖常理的，因此我们需要将视线拉远，定格在1微米至1厘米之间的规模上。在这个尺寸范围内，轮胎表现出显著的弹性，可以根据路面的粗糙点改变自身的形状，再加上上文提到的黏着效应，可以认为轮胎表面与地面是较好地贴合在一起的。又由于橡胶具有滞后特性，与地面接触的凸起的橡胶块还来不及改变形状，就会随着车轮转动对地面施加一个向后的力，因而地面就会对轮胎施加向前的反作用力。这种效果很像齿轮啮合转动时的表现，我们称之为啮合效应。
将这两种效应结合起来，问题就变得明朗了。当赛车刚开始加速的时候，两种效应同时发挥作用，纵向附着力随着滑移率升高以几乎线性的关系从零开始快速增大。当滑移率高到一定程度时，微观滑移不变，黏着效应仍提供一定的附着力，而宏观上整个车轮也开始相对地面滑移，啮合效应被破坏。又因为啮合效应提供的附着力比例更大，因此总的附着力开始逐渐降低。当滑移率接近100%时，啮合效应已被完全破坏，只有黏着效应还能提供较小的附着力。宏观滑移发生前的那个点，即为纵向附着力的最大值。
上图比较直观地表现了之前所描述的纵向附着力的变化过程。几条不同颜色的曲线代表了不同的垂直载荷。可以看到，这款赛车轮胎的最大附着力大概发生在滑移率为 20% 左右的时候，而一般乘用车轮胎的这个值通常在 10% ~ 15% 附近，这是由于赛车轮胎常常为热熔胎，相比普通轮胎来说更“黏”，更能贴合地面，因此啮合效应更晚被破坏。
接下来讨论决定侧向附着力的侧偏角。其实从微观角度来说，侧向附着力产生的机理与纵向是一致的，这也很好理解，因为轮胎的“印迹”不过是一片长方形而已，无论你从哪个方向施加外力，它的表现应该都应该是相似的。侧偏角的定义是：轮胎中心线与其实际行进方向之间的夹角。初听起来可能不容易理解，但下面的示意图非常直观地表现了车辆转向时轮胎及“印迹”的形变，以及侧偏角的含义。
由于侧向附着力的产生机理与纵向一致，因此其相对于侧偏角的曲线看起来也和上文中纵向的曲线有几分相似之处。区别在于，车轮在纵向上受到动力系统的驱动，相对于地面可以产生很高的速度，而在侧向上，外力的来源仅仅为车辆自重在过弯时产生的离心力（严谨的说法应该是由轮胎为车辆自重提供向心力，此处粗略简称为离心力，便于理解），相对于地面达不到那么高的速度。因此，侧向附着力的曲线更像是把纵向的曲线截取前半部分，在达到最大值之后，开始缓慢地下降，但降低幅度很小。
至此，我们已经大致了解了轮胎附着力的产生机理。从上面的两幅曲线图也可以看出，要想实现最快的圈速（即让轮胎发挥最大的附着力），就要在驾驶过程中尽量保持在最佳的滑移率与侧偏角附近。对于没有牵引力控制的赛车来说，如何循序渐进地踩下油门，以维持最佳的轮胎滑移率，绝对是一门细致入微的艺术。
另一方面，如果你细致地计算了上面两幅曲线图中不同的垂直载荷所对应的最大附着力，则会发现，垂直载荷越大时，产生附着力的“效率”就会越低。如果不考虑空气动力学带来的下压力，那么垂直载荷就完全由车重提供，此时这个“效率”（正式名称为附着系数）就决定了轮胎能为这个车身提供多大的纵向与侧向加速度，而加速度就是赛车的一切，直接决定了圈速能有多快。因此，在赛车领域有“宁少十匹，不多一斤”的说法，轻量化是最重要的事情，越轻的赛车就越有竞争力，这是毫无疑问的。
2. 经验模型与魔术公式
2. 经验模型与魔术公式
介绍完了基本原理，就该谈一谈大家最爱提到的“轮胎模型”了。几乎所有拟真向竞速游戏的爱好者都会常常把这四个字挂在嘴边，但并不是每一个人都能完全理解这个词背后的含义。上面讲过，轮胎的附着力与赛车的垂直载荷，以及轮胎自身的滑移率和侧偏角有关，那么，如何根据这些要素，计算出附着力的具体数值，就是轮胎模型最为核心的内容。
别看轮胎看起来很简单，其实到目前为止，人类还没能找出一个精确的理论模型来描述它的行为，而忽略掉很多细节之后得到的粗略的理论模型，其计算精度又很差。为了准确地算出轮胎附着力的值，人们普遍开始尝试使用经验模型，即不管三七二十一，找到一个能够大概拟合上面那两种曲线的式子，哪怕这个式子看起来毫无逻辑，只要结果够准确就行。而在这一类经验模型之中，目前最主流的一种被称为“魔术公式”（Magic Formula，又称 Pacejka Model，因为最早提出这一公式的人是代尔夫特理工大学的 Pacejka 教授）。
为了这篇文章还能有人看，我就不做在文章里放公式这种过分 nerdy 的事了。简单来说，有了魔术公式的框架之后，只需要根据不同款式型号的轮胎改变公式中的一些参数，就能描述该轮胎的行为了。又因为上面提到的纵向与侧向附着力在原理上的一致性，因此，魔术公式对二者也都是适用的，同样只需要更改参数。
在专业的软件中进行仿真时，由于不需要考虑计算时间，可以把整个魔术公式都丢进去，慢慢地计算结果。而在赛车游戏中，对实时性的要求陡然提高，在下一帧画面出现之前，必须算出当时的受力情况及相应的画面表现，这就要求对原本的轮胎模型进行简化。而简化之后还能保留多少精确度，就是拟真向竞速游戏的真实性到底有多强的关键了。
上图来自于 Youtube 上《Stock Car Extreme》（玩家一般简称为 GSC）这一游戏的开发者的一段讲解视频。该游戏的轮胎模型就可以看作是魔术公式的简化版。而为了进一步加快计算速度，该游戏采用了一种较为常见的方法，即在确定参数后预先取样计算出附着力与滑移率和侧偏角的关系，得到曲线，并把数据存在一个二维的表里。这样，在游戏中需要得到附着力时，就可以免于实际的计算，而从这个表中直接或插值取得所需的数值了。
3. 附着椭圆与 g-g 图
3. 附着椭圆与 g-g 图
上文中一直把纵向和侧向的附着力分开讨论。而在赛车实际行驶过程中，单纯的直线加速与单纯的过弯都只占很小的比例，大多数时候是两种行为同时存在的，那么此时，最大附着力又应该怎样决定呢？这就需要引入附着椭圆的概念。
事实上，纵向和侧向是为了便于理解而产生的一种人为的分类。对于轮胎接地的“印迹”来说，当纵向与侧向附着力同时存在时，其实相当于对它施加了一个斜向的合力。这个合力的最大值受限于同样的物理机制，因而其纵向与侧向的分力自然也就此消彼长，且都不能达到其原本的最大值。把纵向和侧向附着力所有可能的组合都点在一张坐标系里，就会得到一个很接近正圆的椭圆形，这就是附着椭圆（之所以不是正圆是因为纵向与侧向的最大值会有一个很小的差异）。
上图就是一个典型的附着椭圆（的一半）。该图侧重于表现侧偏角与侧向附着力，因此只对这两者的关系进行了描点连线，得到了图中的类似于地球纬线的几条曲线。如果关注点在于滑移率与纵向附着力的话，可以对这两者的关系也进行描点连线，最终将会得到类似于地球经线的曲线，与原有的纬线相交，将椭圆划分成很多个网格。每一个网格顶点，就是一个取样得到的纵向与侧向附着力的可能的组合形式，而整个椭圆的轮廓上的那些点，则代表了极限情况下能够得到的组合形式。想要跑出最快圈速，就要尽量让轮胎时刻处在附着椭圆的轮廓上。
上文提到过，轮胎的附着力直接决定了赛车的加速度，那么既然有轮胎附着椭圆，就一定有一个整车加速度的图形与之对应，这个图就叫做 g-g 图（两个 g 分别代表纵向与侧向的加速度）。
g-g 图一般依靠车载的加速度传感器实时记录得到。图中所有的样本点都会落在一个虚拟的椭圆形范围内，这个椭圆就与上文中的附着椭圆相对应。而根据上文提出的“尽量跑在附着椭圆的轮廓上”这一理论，可以大致认为，g-g 图中的点越接近于那个虚拟的椭圆，那么赛车的圈速表现就会越好。在实际的车手训练中，记录并分析 g-g 图是非常重要的一个步骤，而对于想提高自己赛车驾驶水平的玩家来说，也可以使用这一方法回顾自己的驾驶风格，并找到需要提高的地方（在部分赛车游戏中可以使用 MoTec 配套软件的插件来实现对各类数据的获取与分析，其中就包括了 g-g 图）。
三、安装车轮的正确姿势
三、安装车轮的正确姿势
对轮胎自身附着力的分析就告一段落了。接下来，我们讨论车轮应该以怎样的姿势安装在赛车上。用专业的说法来讲，就是讨论车轮的几个关键的定位角对性能产生的影响。
最值得关注的车轮定位角包括以下三个：主销后倾角（caster），车轮外倾角（camber），以及束角（toe）。
1. 主销后倾角
1. 主销后倾角
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主销（kingpin）指的是车辆的转向轮在转动时所围绕的轴线。对于现代的汽车来说，主销往往都是一根虚拟的轴线，并没有真正实体的“销”存在，我们可以根据不同的悬架形式找到一些关键点，来确定主销具体的位置。
而在确定主销的空间几何时，往往会设计出一个带有后倾角的主销。这一设计最主要的目的是为了在机械上提供一定的回正力矩（详见本文第四章）。简单来说，有了回正力矩，车辆在转弯结束之后方向盘会有自动回正的倾向，而在高速行驶时也更容易保持直线的轨迹，这样车开起来就更方便也更稳定。对于赛车来说，主销后倾往往会设计得比较激进，除了提供较大的回正力矩之外，另一个目的是提供较大的倾角增益，以便提升赛车在过弯时的性能，这部分就不展开来讲了。
2. 车轮外倾角
2. 车轮外倾角
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车轮外倾角则仅仅与车轮相关，即使主销是内倾的（如图所示），车轮也可以自由地调整外倾的角度。以人的两条腿来比喻轮胎的话，车轮外倾就像是罗圈腿，在接近地面的地方往上看是向外张开的，呈"V"字形，而负的车轮外倾角就像是向两侧叉开两条腿，在接近地面的地方往上看是向内收束的，呈“八”字形。
不同于主销后倾角几乎都设计为正值，车轮外倾角取正负都是合理的，要根据具体情况来确定。通常来说，驱动轮的外倾角会比较小，无论正负，一般都是接近零的一个值，以便提高驱动的效率。乘用车上常见正的外倾角，用来抵消载重时车轮内倾的趋势，减小轮胎磨损。而在不考虑成本的赛车上，往往会见到相当激进的负外倾角，以提高过弯的性能。这也很好理解，就像上文所说的两条腿的比喻，罗圈腿的人在力学上就像一个不倒翁，侧面只能承受一个很小的力，而叉开两腿之后，侧向的受力就可以提高很多。具体来说，在赛车高速过弯时，外侧车轮会承受主要的载荷，并且有外倾的趋势，轮胎接地面积减小，侧向附着力减小，而如果原本就设置了一个负的外倾角，就可以一定程度上抵消这一外倾的趋势，提供更大的侧向附着力，那么赛车就能以更快的速度过弯了。
3. 束角
3. 束角
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束角是最容易理解的一个定位角了。通常来说，我们只关注前轮的束角，简称前束角。从俯视的角度看车的两个前轮，看起来像内八字的就是正的前束角（toe in），看起来像外八字的就是负的前束角（toe out）。
前束角也是可正可负的。乘用车上常见较小的正的前束角，用来提升车辆直线行驶的稳定性。而在赛车上，会有一部分赛车采用负的前束角，以加强赛车过弯时的转向过度特性（关于转向特性的具体介绍可能会在下篇文章里出现，如果还能有下一篇的话）。
四、回正力矩与手感的关系
四、回正力矩与手感的关系
接下来的一章可能是玩家们最感兴趣的部分了，因为我们终于要谈到手感了。当然，键盘玩家没法从键帽上得到赛车动态的反馈，只能靠画面和声音来判断车的状态。手柄玩家就好一些，多了一个震动的反馈，可以知道此时路面的情况，是否压上路肩，是否压上草地。而对于我们今天主要讨论的方向盘玩家来说，手感的反馈又会更加丰富一些，除了震动之外，还有一种打方向时的沉重感，这就是车辆的回正力矩（aligning torque）。
回正力矩是拟真向竞速游戏中非常重要的一部分。在各类相关游戏的论坛里，关于每个游戏力反馈手感如何的帖子通常都能轻松战上几百层。第二章里我们提到了轮胎模型的核心部分是建立附着力与滑移率和侧偏角的关系，而除了这一点之外，最重要的就是正确地描述回正力矩在赛车过弯时的行为。甚至可以说，对于很多玩家而言，回正力矩的准确与否是判断一款游戏轮胎模型是否合格的唯一标准（虽然这种看法并不正确）。
回正力矩的产生主要由两部分组成，机械拖距（mechanical trail）和气胎拖距（pneumatic trail）。这两种拖距所产生的回正力矩之和，即为最终反馈在方向盘上的回正力矩。
1. 机械拖距
1. 机械拖距
机械拖距又叫主销后倾距，顾名思义是由主销后倾角产生的一段距离。当主销后倾时，其延长线与地面的交点和轮胎的接地中心点不再重合，二者之间的这段距离就是机械拖距。由于这段距离的存在，当轮胎在接地处受到侧向的外力时，就会产生一个绕主销的力矩，而且这个力矩具有将车轮回正的趋势，这就是由机械拖距产生的回正力矩。这部分回正力矩只受到主销后倾角影响，在车辆行驶过程中是线性变化的。
2. 气胎拖距
2. 气胎拖距
气胎拖距在产生回正力矩的原理上与机械拖距是一致的，也是在接地处受到外力时产生一个绕主销的力矩。不同之处就在于这段距离产生的原因。简单来说，当轮胎在接地处受到侧向力时，会产生一定程度的形变。当轮胎向前滚动，原本的接地处已经向后移动时，原有的形变不能马上恢复原状，有一定的滞后性，而这个滞后性就导致了当前接地处的形状并不是理想中的规则形状，其受力中心点并不位于几何的中心点，二者之间有一段距离，这个距离就是气胎拖距。
气胎拖距的长度是与轮胎的侧偏角有关的，因而由气胎拖距所产生的回正力矩就由侧偏角直接决定。但有趣的是，二者的关系并非线性的，反而是先增加后降低。根据上图的曲线可以看出，对于某些轮胎，当垂直载荷不大时，如果侧偏角很大，回正力矩甚至会变成零或者负值。
反映在手感上，当赛车在高速过弯接近极限时，方向盘从之前的越来越重突然开始变轻，甚至完全没有反馈（当然，这需要这部分负的回正力矩足够大，抵消掉机械拖距产生的正的回正力矩，而赛车的主销后倾角往往很大，所以正的回正力矩也会很大，因此这种情况是几乎不会出现的）。很多赛车手和老玩家会利用这一特性，判断赛车的状态，在过弯时如果感受到了方向变轻，就说明离赛车的极限已经不远了，应当更加谨慎，随时准备降低车速或减小补油的幅度。而有些拟真向竞速游戏，由于在这一特性上没有良好的表现，甚至在方向盘的力反馈上完全感觉不出这种微妙的非线性变化，因而被很多硬核玩家斥为“娱乐游戏”，“轮胎模型完全是错的”（《赛车计划》说的就是你）。需要说明的是，这部分物理特性虽然也很重要，但从模拟赛车行为的角度来说并不是轮胎模型的最核心部分，只不过是最容易被玩家直接感受到。因此虽然《赛车计划》算不上那么硬核的赛车模拟，但大体上来说物理机制还是过关的。
五、小结
五、小结
这是我的第一篇机核投稿，不得不说，完成本文所花的时间远远超出了我的想象。明明脑子里就那么几个要点，想把它们写出来、讲清楚，却是一件如此困难的事。即使我已经省略很多技术上的细枝末节，但还是花去了不少的篇幅，更不用说找图也花费了相当多的时间。在此对机核所有的文章作者致敬！
本文从游戏出发，想尽量讲清楚轮胎动力学中最基本的一些知识，并将其与游戏相结合，希望能帮助提升大家在拟真向竞速游戏中的游戏体验。其实关于轮胎的知识可谓卷帙浩繁，很多专家学者终其一生都在这一领域进行研究，而本文中只是进行了一些浮光掠影的介绍，省去了不少细节（如轮胎的经验模型也不仅仅魔术公式这一种，车轮外倾角的作用以及过弯时的变化更是极为繁琐）。有兴趣的同学可以进一步阅读下面列出的参考文献。另外，部分名词的翻译可能不是正式名称，部分概念的解释也有可能不准确，希望大佬们能够多多指教。
这一篇就到此为止了。如果还有时间继续写下去的话（以及如果还有人愿意看的话），我计划再写两篇，分别介绍转向特性和空气动力学，悬架部分在本篇和转向特性中可能会有所涉及，至于其他的，像动力总成、制动等等，由于对游戏体验影响不大，我自己也不是很熟悉，就不详细介绍了。
感谢大家的阅读！
六、参考文献
六、参考文献
Abe, T. (2013). The Gran Turismo Magazine: "Beyond the Apex" - Products. Retrieved September 17, 2017, from http://www.gran-turismo.com/us/products/gt6/beyond_the_apex/
Gillespie, T. D. (1994).Fundamentals of vehicle dynamics. Society of Automotive Engineers.
Milliken, D. L., & Milliken, W. F. (2003).Race car vehicle dynamics: Problems, answers, and experiments. Warrendale, PA: SAE International.
Pacejka, H. B. (2006).Tire and Vehicle Dynamics.SAE International, Warrendale, PA.
Smith, C. (1999).Tune to win. Redwood City, CA: Motorbooks International.
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