聊聊数学史里的“伤心者”们

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《伤心者》是号称“中国科幻三驾马车”之一的何夕的代表作，该作以压倒性优势获得了第十五届中国科幻银河奖。小说篇幅不长，全篇不过4万余字，只需要花费睡前的一点时间，就能阅读完这部号称何夕作品中最能打动读者的作品。
何夕的作品以“软科幻”为主，《伤心者》也不例外。甚至如果剪除掉“时空穿越”的过程，我都很难说这是一部“科幻”作品，而“时空穿越”已经是科幻最通俗的门槛了吧。更让人在意的是，《伤心者》里存在着许多难以忽视的“硬伤”。例如，“对数学应用意义的质疑”，“将出书作为学术成果的呈现方式”，“一百五十年后观察者能从废墟中找出这本书”等等。这一切都充斥着一个作家对于理科学术界的臆想。
但这都不重要，它依旧是我心目中“软科幻”的一座丰碑，它内里所折射出来的哲思，既有着母性光辉的赞美，又有着探求真理的精神。而后者让我觉得它实在是一部不能再“科幻”的作品了。
每当我读到：
古希腊几何学家阿波罗尼乌斯总结了圆锥曲线理论，一千八百年后由德国天文学家开普勒将其应用于行星轨道理论。                                         
伽罗华公元1831年创立群论，当时学术界无人理解他的思想，以致论文得不到发表，一百多年后群论获得具体应用。                                                                                                      
凯莱公元1855年左右创立的矩阵理论在六十年后应用于量子力学。 
数学家J.H莱姆伯脱，高斯，黎曼，罗巴切夫斯基等人提出并发展了非欧几何。高斯一生都在探索非欧几何的实际应用，但他抱憾而终。非欧几何诞生一百七十年后，这种在当时一无用处广受嘲讽的理论以及由之发展而来的张量分析理论成为爱因斯坦广义相对论的核心基础。            
何夕独立提出并于公元1999年完成的微连续理论，一百五十年后这一成果最终导致了大统一场理论方程式的诞生。                                         
世界沉默着，为了这些伤心的名字，为了这些伤心的名字后面那千百年寂寞的时光。
我都不禁寒毛战栗，它让我想起了那些在嘲讽、指责、谩骂中挣扎，在污泥里爬行，在孤独中求索的数学家们。这既悲凉又热血，悲凉于被历史掩埋、被学界辜负，独自在漫漫长夜里冒雪前行；热血于时光终究做出了判决，让他们在历史长河里屹立不朽。
这些“判决”可能迟到百年，但反衬出的光辉却让我们热泪盈眶。 
阿波罗尼：沉寂两千年的圆锥曲线
阿波罗尼，又译阿波罗尼乌斯，古希腊数学家、天文学家，约生活于公元前3世纪，其与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大前期的三大数学家。在当代人的认知里，同其余两位齐名的数学家比起来，阿波罗尼简直没有任何名气。但其学术成果却是每个人都所熟知的，即“圆锥曲线”。

在阿波罗尼之前，便已经有人研究过圆锥曲线了，欧几里得和阿基米德同样在该领域有所研究，但阿波罗尼可以说是集大成者。他将前人的成果相整理，去芜存菁，并加入了自己独有的创见材料，使圆锥曲线理论系统化，并写出了《圆锥曲线》这一经典之作。
阿波罗尼采用平面切割圆锥的方式来研究几种曲线。例如，用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支。这同我们高中刚学习圆锥曲线时，老师给予的直观展示方法如出一辙。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

《圆锥曲线》共有8篇，共计487个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，以致后代学者几乎没有插足的余地达千余年。但是，与其说是圆锥曲线的研究已经到底，不如说是由于其研究的实践意义始终未被人发现，导致其研究停滞了千余年。相较于《几何原本》中那些实际可用的数学原理，圆锥曲线的使用始终无门可入。这也致使这一古希腊几何学的巅峰沉默了近两千年，直至16世纪开普勒揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实和伽利略得出物体斜抛运动的轨道是抛物线，人们才发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，而且是自然界物体运动的普遍形式。自此以后，笛沙格、帕斯卡、拉伊尔等数学家才在圆锥曲线领域陆续有了新的研究成果。
英国科学家贝尔纳曾高度评价道：
他的工作如此的完备，所以几乎二千年后，开普勒和牛顿可以原封不动地搬用，来推导行星轨道的性质。
但人们总忽视了这整整两千年的寂寞。
伽罗瓦和阿贝尔：划过天际的“群论”流星
伽罗瓦，法国数学家，现代数学中的分支学科“群论”的创立者。用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗瓦理论，并把其创造的“群”叫作伽罗瓦群。
阿贝尔，挪威数学家，首次完整给出了高于四次的一般代数方程没有一般形式的代数解的证明，与伽罗瓦并称为现代群论的创始人。
之所以将两者放在一起讲述，只因两人有着太多的相似性。他们出生在同一个时代，各自都解开了困扰数学家250多年的四次以上方程式的解法问题。他们同样怀才不遇，命途坎坷，并同样英年早逝。他们就像是划过数学星空的两颗流星，耀眼但让人惋惜。

阿贝尔出身于一个穷困的牧师家庭。由于父亲早逝，18岁的阿贝尔需要照顾母亲和6个弟妹。尽管如此，但在数学老师霍尔姆伯的资助下，阿贝尔仍旧进入了奥斯陆大学就读。在校期间，阿贝尔既要授课赚钱养家，又要兼顾自己的数学研究。最终，他于1824年，发表论文《一元五次方程没有代数一般解》，证明了求根公式的不存在，并且给出了一个一般一元五次方程可以通过四则运算和开平反运算得到解的成分条件，从而一举解决了这个困扰任命近三百年的难题。
但在挪威这个数学荒地，阿贝尔的成果并未得到足够的重视，他决心将自己的研究成果寄给欧洲的大数学家们，尤其是“数学王子”高斯。
高斯在数学界的地位自然不用我赘述。由于经费有限，阿贝尔将自己数万字的论文高度压缩成只有六页纸，并寄与高斯。他在欧洲旅行中试图拜访高斯，但有消息告知他，高斯不高兴接受其关于一元五次方程的相关工作。不确定为什么高斯会持有如此态度，但我们可以的知道的是，他从未读过阿贝尔的论文——人们在高斯去世后，发现该论文从未被打开。这种不重视的态度，可能与高斯在1801年的论文中提到的观点“方程的代数解并不比为方程的根设计一个符号更好。”有关。

阿贝尔另一伟大的研究成果便是关于椭圆函数理论的研究。
椭圆积分方面的权威、法国数学家勒让德研究了40年之久，尽管根据前人工作中引出了很多新的推断，但是始终没有得出任何关于椭圆函数的基本思想。阿贝尔另辟蹊径，得出了椭圆函数的基本性质，建立了椭圆函数的加法定理，并进一步提出了阿贝尔积分。他将关于椭圆函数的所有研究成果整理成一篇长篇论文《论一类极广泛的超越函数的一般性质》，并提交给了法国科学院。当时任科学院秘书的傅里叶将论文委托给了该领域的权威，勒让德和柯西，柯西为主要审查者。但很不幸，柯西将论文带回家后，就不知道把它丢在什么地方去了。这很奇怪，可能与柯西习惯于撰写极长的论文有关——数学期刊往往不够位置刊登他的论文，他一怒之下甚至办了专刊用于刊登自己的论文。因此，他可能对于这仅有六页的论文难以重视。
直至阿贝尔去世后，德国数学家雅克比向法国科学院质问这一情况，勒让德才回复道：“我们感到论文简直无法阅读，字迹谈得仿佛用白色墨水撰写的，字也写的很糟糕。”听起来，理由竟是如此的荒诞不羁。直到1841年，这篇划时代的论文才得以发表。而且，后来这篇论文的手稿又一次丢失，又到了1952年才在佛罗伦萨被重新发现。

而在阿贝尔沉冤得雪之前，他早已因贫困带来的肺结核不幸逝世了，年仅26岁。逝世前，他仍在做代课老师，拿着微薄的津贴，一边维持生计，一边偿还欠债。甚至他还将自己唯一挂念的未婚妻交给了自己的好朋友照顾，并要其承诺在他离世后完婚。
2003年，挪威政府设立阿贝尔奖，该奖也最终成为数学界影响最大、奖金最丰厚的国际大奖之一。
法国数学家埃尔米特曾这样评价阿贝尔短暂一生所作出的数学贡献：
阿贝尔留给数学家的，足够他们忙碌五百年了。

阿贝尔去世的时候，伽罗瓦刚满18岁。也正是这一年，伽罗瓦创立了伟大的群论，完美的弥补了阿贝尔理论上的不足，仿佛冥冥之中自有天意。同样巧合的是，伽罗瓦将其在代数方程解上的结果交给法国科学院,，负责审核的依旧是柯西。
有一种流传颇广的说法是柯西在会议前又一次丢失了论文，这次轮到伽罗瓦了。这一说法出自E.T.Bell 的《Men of Mathematics》。这种说法的出现并不是没有缘由的，因为柯西的确在评审会上没有提交伽罗瓦的论文。但是根据 Rene Taton 在科学院遗留档案中发现的柯西的一封信，可以证明其并未丢失论文，甚至可能鼓励过伽罗瓦。至于其未提交论文的原因暂且不明，有人猜测是因为其了解了论文的重要性，所以建议伽罗瓦将成果合起来参选科学院数学大奖。

而在此时，伽罗瓦家中遭逢巨变，父亲在新一轮选举中被人暗中陷害，不堪受辱后，选择了自尽。父亲的冤死极大地刺激了伽罗瓦，使其政治倾向变得极端化，并且两度入狱。
伽罗瓦进入高等师范学院就读后，再次将其方程论的结果，提交至当年科学院数学大奖的组委会。但是论文被送到傅里叶手中后，又因傅里叶过世，惨遭蒙尘。伽罗瓦只能眼睁睁看着科学院将大奖带有补偿性质地颁发给了已经逝世的阿贝尔与为其伸冤的雅可比。伽罗瓦延续了阿贝尔的事业，也继承了阿贝尔的悲惨遭遇，但没想到，还被阿贝尔堵住了前路。
伽罗瓦的离世颇具几分传奇色彩。尽管这段故事的真实性颇受质疑，但读起来却有着一股子英雄迟暮的悲壮感。在狱中的伽罗瓦爱上了一名医生的女儿，但她却有着一名未婚夫军官。炙热的爱情冲昏了伽罗瓦的头脑，那股子因为父亲离世、怀才不遇带来的极端思想侵蚀了他的理智。他与情敌相争执，并提出了以决斗定胜负。
冷静后的伽罗瓦才反应过来，他怎么能和玩枪的行家约定决斗？他来不及害怕，他开始连夜整理自己之前在狱中的所有研究成果，期间不断在空白处写上“我没有时间”，并寄给了自己的朋友。第二日，伽罗瓦应约决斗，但遗憾离世，年仅21岁。

伽罗瓦的朋友遵照了伽罗瓦的遗愿，将他的论文寄给了高斯和雅可比，但都石沉大海。直到1843年，整整十年后，才由刘维尔肯定伽罗瓦结果之正确、独创与深邃，并在1846年将其发表。
罗巴切夫斯基：超越人类想象的“罗氏几何”
罗巴切夫斯基，俄罗斯数学家，罗氏几何的创立者，非欧几何的早期发现人之一。其实一提到“伤心者”，我脑海里下意识蹦出来的人名就是罗巴切夫斯基了。他的一生就是在遭受质疑、非难和攻击中度过的，人们并非只是质疑其非欧几何的实用性，更多是质疑其非欧几何的存在性——他们甚至都没法拿出任何一个实际的模型来佐证这一违背常识的理论。

一直以来，我们的几何学都是建立在欧几里得的《几何原本》之上的。而这部巨著最重要的意义在于，它是用公理法建立科学理论体系的最早典范。在这部巨著中，欧几里得提出了五个公理和五个公设。长期以来，人们称赞于五个公理和前四个公设，但一直质疑着第五公设，亦称平行公理，即
同一平面内的两条直线与第三条直线相交，若其中一侧的两个内角之和小于二直角，则该两直线必在这一侧相交。
数学家们并不怀疑这个命题的真实性，只是它不管是在内容还是语句上都更像是一个可证的定理而不是公设，只是欧几里得本人并未能证明，才不得不把它放入公设之列。
为了给出第五公设的证明，数学家们从公元前3世纪一直奋斗到19世纪初，整整两千余年。他们几乎尝试了所有可能的方法，但最终都惨遭失败。罗氏从1815年开始着手研究第五公设，他训着前人的思路试图证明这一公设，但他很快发现这样行不通。于是，他大胆地、创造性地运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法——反证法。
这种反证法的基本思想是，为证“第五公设不可证”，首先对第五公设加以否定，然后用这个否定命题和其它公理、公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演。假设第五公设是可证的，即第五公设可由其它公理公设推演出来，那么，在新公理系统的推演过程中一定能出现逻辑矛盾，至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反驳了“第五公设可证”这一假设，从而也就间接证得“第五公设不可证”。
之前提到第五公设又称平行公理，因为其同平行公理是等价的，即“过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交”。由此，罗巴切夫斯基在此基础上提出否定命题“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并在此基础上展开逻辑推演。
但出乎他意料的是，这一推演过程中并没有预想的矛盾，反而逻辑十分自洽。他大胆断言，这种新公理系统可以构成一种独立于欧几里得几何之外的新的几何。由于尚未找到新几何在现实界的原型和类比物，罗巴切夫斯基慎重地把这个新几何称之为“想象几何”。

1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。然而，这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对。
会议上，数学家们无法理解这个青年人讲述的胡言乱语，诸如三角形的内角和小于两直角，而且随着边长增大而无限变小，直至趋于零；锐角一边的垂线可以和另一边不相交等等。这些命题不仅离奇古怪，与欧几里得几何相冲突，而且还与人们的日常经验相背离。
会后，学术委员会委托西蒙诺夫、古普费尔和博拉斯曼组成三人鉴定小组，对罗巴切夫斯基的论文作出书面鉴定。他们的态度无疑是否定的，但又迟迟不肯写出书面意见，以致最后连文稿也给弄丢了。

罗巴切夫斯基并未放弃，他于1829年又撰写了《几何学原理》。由于此时他已担任喀山大学校长，应其要求，喀山大学学术委员会将其论文递交给彼得堡科学院。科学院委托著名数学家奥斯特罗格拉茨基院士作评定。但这位院士比喀山大学的教授更为保守，他以嘲弄的口吻在鉴定书中这样写道：“看来，作者旨在写出一部使人不能理解的著作，他达到了自己的目的。”并粗暴的断言：“由此我得出结论，罗马切夫斯基校长的这部著作谬误连篇，因而不值得科学院的注意。”
罗巴切夫斯基开创了数学的一个新领域，但他的创造性工作在生前始终没能得到学术界的重视和承认。就在他去世的前两年，俄国著名数学家布尼雅可夫斯基还在其所著的《平行线》一书中对罗巴切夫斯基发难，他试图通过论述非欧几何与经验认识的不一致性，来否定非欧几何的真实性。英国著名数学家莫尔甘对非欧几何的抗拒心里表现得就更加明显了，他甚至在没有亲自研读非欧几何著作的情况下就武断地说：“我认为，任何时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的另外一种几何。”莫尔甘的话代表了当时学术界对非欧几何的普遍态度。
在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几何的另一位发现者德国的高斯也不肯公开支持他的工作。早在1792年，也就是罗巴切夫斯基诞生的那一年，他就已经产生了非欧几何思想萌芽，到了1817年已达成熟程度。他把这种新几何最初称之为“反欧几何”，后称“星空几何”，最后称“非欧几何”。但是，高斯由于害怕新几何会激起学术界的不满和社会的反对，会由此影响他的尊严和荣誉，生前一直没敢把自己的这一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分成果写在日记和与朋友的往来书信中。他积极推选罗巴切夫斯基为哥延根皇家科学院通讯院士，可是，在评选会上和他亲笔写给罗巴切夫斯基的推选通知书中，他对罗巴切夫斯基在数学上的最卓越贡献——创立非欧几何却避而不谈。
1856年2月12日，罗巴切夫斯基在苦闷和抑郁中走完了他生命的最后一段路程。喀山大学师生为他举行了隆重的追悼会。在追悼会上，他的许多同事和学生高度赞扬他在建设喀山大学、提高民族教育水平和培养数学人材等方面的卓越功绩，可是谁也不提他的非欧几何研究工作，因为此时，人们还普遍认为非欧几何纯属“无稽之谈”。

直到1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这使得非欧几何在欧几里得空间里得以存在，人们才开始认可，就如同相对论之于牛顿力学一般。人们总是固守传统，在权威未被统一以前，对异端总是抱有敌视的态度，就像光的波粒战争等等经典案例一般。也直到百余年后，非欧几何才因为爱因斯坦发展广义相对论提供了思想基础和有力工具，获得了实际运用与认可。
写在最后
本人并非数学专业学生，文中如有缺漏，还请谅解，欢迎各位指正。
其实在看《伤心者》之前，我就已经了解过罗巴切夫斯基的事迹了。那个时候，是因为一部小说。在小说中，作者这样写道：“你的眼睛会欺骗你，你的耳朵会欺骗你，你的想象力会欺骗你，但数学不会。”正因为现代数学发展到今天，非欧几何已经触及了人类的感知极限，人们才开始相信纯粹数学中的逻辑推演。而罗氏很不幸，是这个转型时代的一场悲剧。
由此，当我被《伤心者》中的亲情感动之余，又不由被历史里那些硬着头皮、坚持真理的数学家们所感动，为那些怀才不遇、蹉跎一生的数学家们而感到遗憾。由于时代的局限性和客观性，每一个超越时代的思想都可能难以获得其应有的尊崇和光荣。
正如《伤心者》中这样写道：
对有些东西是不应该过多讲求回报的，你不应该要求它们长出漂亮的叶子和花来，因为它们是根。