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译按
译按
我已经忘记我是何时且在何处看到，并在待译列表中加入这篇文章的，这篇奇特的文章将物理学研究/甚至所有的科学研究看作一种「建模游戏（Modeling games）」的过程，并且将其作为物理学教育理论基础的整体介绍（包括建构主义的哲学基础，以牛顿世界为例子，以牛顿《原理》的创作为考察，以教育问题为出发点和应用点，与国际象棋做比较的学习和天赋问题的过程）。
依旧在此，我们遭遇到了之前我所提到的类似的问题，文中提到的「像小球、飞盘和超级球这样的玩具的惊人行为」，以及游戏/规则的修辞使用，国际象棋之于科学研究的「比喻」和对照又出现了，在做翻译时我总是不断地想起很多物理学和数学的游戏，包括《Euclidea》（尺规作图完成《几何原本》），《The Powder Toy》。
我想，倘若不站在一个「大部分当前游戏」的视角思考，而是从一个创作者的「可以有/做出怎样的游戏」的视角来看，这些事物是否能够真的成为具体的游戏，游戏与对自然的科学研究中的关系是什么？为何其中都有某种费曼描述为「simple in pattern - complicated in action」的美和优雅？解谜游戏与科学研究建模游戏过程的边界在哪里呢，这是我正在进行的工作中（书的写作）遇到的关键之一。
除了对自然研究的科学和游戏之间的对照之外，本文对于教育-游戏的反思过程也颇有趣，对照了国际象棋的学习，精进和欣赏过程与物理学教育之间的视角，并且期待能够让学生的物理学的「游戏和鉴赏」水平能够达到如国际象棋大师的那般。这可能是一次非常早期的，对游戏和学习关系的某种有趣考察（包括对模式识别的强调，游戏设计这部分的讨论可参考 Raph Koster: A Theory of Fun for Game Design）。
而从这种假设出发，我们也能够打开对于科学（科普游戏）的设计，思考，制作的一条裂隙，或许在这个意义上，最好的科学游戏与研究并无差别，都是在学生的头脑中重新创造出科学的游戏的过程，或许游戏（无论是比喻还是具体的游戏），能给到学生脑海中对于科学家的概念世界的认知，以及在游玩过程中，对上下文的领会，因为学习的过程就是创制（poiesis），也就是游戏，就像文中提及的费曼的忠告那样：对于我不能创造的东西，我就无法理解。
PS：或许对万有引力定律的发现之前的，从第谷·布拉赫到开普勒，再到伽利略的这段著名的历史有所了解，会对此文的内容有所帮助，或许可以参考著名的物理学家费曼《物理定律的本性》讲座的第一场《万有引力定律——物理定律的范例》。
落日间
叶梓涛
David Hestenes
David Hestenes
戴维·赫斯特内斯（David Hestenes，生于1933年5月21日）是一位理论物理学家和科学教育家。他在加州大学洛杉矶分校获得博士学位，论文题目是《几何微积分与基本粒子》，普林斯顿大学的博士后，并作为数学和物理统一语言的几何代数的首席设计师，以及建模教学（Modelling Instruction）的创始人而闻名。建模教学是一个基于研究的项目，旨在改革 k-12科学、技术、工程和数学（STEM）教育。他在亚利桑那州立大学（ASU）的物理和天文系工作了30多年，现在是名誉退休教授。
自1980年以来，赫斯特内斯一直在发展科学与认知的建模理论，特别是指导科学教学的设计。该理论对构成科学内容核心的概念模型和理解科学所必需的心智模型有明确区分。建模教学的目的是让学生参与建模的各个方面，广义上被认为是构建、测试、分析和应用科学模型。为了评估建模教学的有效性，赫斯特内斯和他的学生开发了力概念量表（Force Concept Inventory），一个评估学生对入门物理理解的工具。
经过10年的教育研究，赫斯特内斯发展和验证了这个方法，获得了国家科学基金会的另一个10年资助，将建模教学计划推广到全国。截至2011年，已有4000多名教师参加了关于建模的夏季讲习班，其中包括近10%的美国高中物理教师。据估计，每年有超过10万名学生接触建模方法的老师。
该项目的一个成果是，教师们创建了自己的非盈利组织——美国建模教师协会（AMTA），在政府资助终止后继续并扩大这项使命。AMTA已经扩展为一个全国性的教师社区，致力于解决国家的科学、技术、工程和数学（STEM）教育危机。建模项目的另一个成果是在亚利桑那州立大学为STEM教师的持续专业发展创建了一个研究生项目。这为全国大学的类似项目提供了一个经过验证的模型。
本文发布于《美国物理学杂志》 American Journal of Physics 60, 732 (1992); Physics Department, Arizona State University,Tempe,Arizona 85287 (Received 9 September 1991; accepted 19 March 1992) 后续相关的文章还有，《用于学习和做物理的建模软件》（Modeling Software for learning and doing physics）
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翻译：叶梓涛
限于时间与能力，本文中的图片未全部翻译，物理学或数学专有名词可能不准确，还请多多指正，必要时请参照原文。
牛顿世界中的建模游戏
Modeling games in the Newtonian World
牛顿世界中的建模游戏
Modeling games in the Newtonian World
David Hestenes
摘要 Abstract
摘要 Abstract
牛顿力学（Newtonian mechanics）的基本原理可以被阐述为定义了一系列建模游戏的规则体系。这些游戏的共同目标是为物理现象建立有效的模型。这是一个有前景的物理教学新方法的起点，在这个方法中，学生从一开始就被告知，在科学中「建模就是最关键的」（建模就是游戏之名 modeling is the name of the game）」。其主要思想是教授一套明确的建模原则与技术，让学生熟悉一套基本的物理模型，并让他们在建立模型、通过实验验证模型，以及和有效运用模型以解释、预测和描述物理现象方面有大量的实践。不幸的是，要完全实施这种方法，需要对标准的教学材料进行重大改革，而这一点尚未完成。这篇文章阐述了该方法的物理学、认识论、历史和教学基本原理。
I. 引言 INTRODUCTION
I. 引言 INTRODUCTION
科学的伟大游戏是对现实世界进行建模，并且每一种科学理论都规定了一套玩游戏的规则体系（system）。游戏的目的是构建真实物体和过程的有效模型。这些模型构成了科学知识的核心。理解科学就是要知道科学模型是如何构建和验证的。因此，科学教学的主要目标应该是教授建模游戏（modeling game）。
如果建模就是一切（MODELING IS THE NAME OF THE GAME 译注：be the name of the game means is the most important aspect of a situation），那么考虑到典型的教科书，学生对入门物理学感到不知所措和迷惑就不奇怪了。学生们只能从大量的细节中自己提取游戏规则。这就好比学习国际象棋时，仅仅通过观察棋盘上的棋子神秘地消失和重新出现，以及奇怪的反常现象进行，如王车易位（castling），以及比赛的突然！这个游戏在你了解了规则后都足够难了。
无怪很少有学生能把规则搞清楚，当大多数人完全忽略了游戏的意义时。大多数学生认为游戏是为了收集和记忆事实。这使他们对科学所揭示的物理世界的美丽结构视而不见。
本文旨在通过从建模的角度划定牛顿力学的结构来阐明物理学的教学目标。其目的是为了促进建模技能的教学，将其作为适用于纵观科学的最根本的可转移技能。这种技能只有在特定的科学理论背景下才能得到发展。历史上，牛顿力学一直是科学理论的典范，今天它仍然很好地发挥着这一作用。因此，我们把牛顿世界作为一个概念性的舞台，人们在这里学习如何玩科学的建模游戏。只有把牛顿游戏学好了，人们才能理解它的局限性和现代物理学中更精细的游戏的基本原理。
II. 定义牛顿世界 DEFINING THE NEWTONIAN WORLD
II. 定义牛顿世界 DEFINING THE NEWTONIAN WORLD
牛顿理论，像其他每一种科学理论一样，都定义了一个概念世界（Conceptual World）。这个世界充满了物理世界中真实物体和过程的概念模型（图1）。应该在牛顿世界和它所描述的物理世界之间保持明确的区别。许多学生和教科书都没有做到这一点。结果，人们普遍认为，牛顿定律是物理世界中固有的（inherent），只是等待着被发现，就像哥伦布发现美洲一样。相反，正如爱因斯坦反复强调的那样，物理学定律是「人类思想的自由创造（free creations of the human mind）」。[1]
【图1：牛顿认识论。牛顿世界是一个由物理世界中实际物体和过程的可能模型组成的概念世界（conceptual world）。牛顿理论定义了可能模型的范围。物理现象是通过建立有效的模型来表示（represent）它们而被解释的（因此也被理解）。】
牛顿定律是为了描述真实物体运动中的某些规律性的。这些规律性，确实，是自然界所固有的，但如果没有发明适当的概念来描述它们，就无法发现它们。在「牛顿时代」之前，它们没有被发现并非偶然的，尽管它们一直都在「自然之书（the Book of Nature）」中展示给每个人看。如果没有一系列先前的概念发明，「牛顿定律」的概念是不可能实现的，其中包括（1）欧氏几何（Euclidean geometry），它定义了空间概念，（2）加速度的概念，由伽利略首次在运动分析中使用，(3) 解析几何（analytic geometry），由笛卡尔发明，用代数方程表示几何曲线，以及（4）微分（differenial calculus），牛顿和莱布尼茨的数学发明，被证明不仅对于构想牛顿定律，且对于其应用都至关重要。
这一切的一个寓意是，概念性的发明和经验性的发现是相辅相成的。一个人无法发现他无法设想的东西。同样，学生必须先熟悉牛顿世界，然后才能在其中认识到物理世界的反映（reflections），并将其作为理解物理世界的概念工具。因此，物理学入门的一个主要目标应该是帮助学生进入牛顿世界 [2]。事实上来说，是牛顿世界必须进入学生，因为它是一个概念性的世界，必须在任何想了解它的人的头脑中重新创建。每个学生都必须在自己的头脑中重新创造牛顿世界以此来理解它。这是一种高层次的创造性行为，所以无怪学生会觉得困难，特别是考虑到教科书中对牛顿理论的碎片化的展示。
牛顿理论定义了牛顿世界，但它从未被牛顿完全阐明过，而自那以后它被物理学家们大大地完善和扩展了。由于这些原因，对牛顿的运动三定律的尽责援引（从他的原话的拉丁文中的典范翻译，甚至在现代的改述中）是对牛顿理论的不充分表述，尽管它是标准的教科书做法。教育研究表明，大多数学生能够背诵这些定律，但很少有人理解它们。现在是时候打破这种教科书的传统了，取而代之的是对牛顿理论的清晰、紧凑、连贯和完整的重新表述，哪怕只是为了准确说明学生必须学习什么，从而指导教学设计。我自己对这种重述的尝试在图2中作了图示。它已经在其他地方得到了扩展和讨论 [3]，所以我可以在这里把我的意见限制在它的基本原理和教育意义上。
（译注：通常的牛顿定律的表述为，第一定律：物体有保持静止或运动的趋势；第二定律：力等于质量乘以加速度；第三定律：每个作用力都有一个大小相等、方向相反的反作用力。 ）
关于图2中的牛顿世界，首先要注意的是，它完全由（点）粒子（point particles）构成。这个世界中的广延体都可以还原为构成它们的粒子[3]。点粒子并不存在于物理世界中；它们是牛顿理论创造的概念性物体。它们是由牛顿定律定义的，并且牛顿定律规定了它们的属性（properties）。图2显示了牛顿定律的扩展版本。最明显的新增内容是第零定律（Zeroth law），它规定了位置和运动的原始运动学属性，从而定义了牛顿的空间和时间概念（当然，这些概念起源于希腊几何学）。在传统的物理学教科书中，第零定律被默认为是理所当然的，大概是由于牛顿和他同时代的人不承认它是一个物理定律这一历史原因。在今天这个时代，这种遗漏没有理由，因为爱因斯坦已经表明，牛顿理论最深刻的缺陷就在于第零定律。[3]
必须承认，图2中定义的牛顿世界与牛顿的原始概念并不完全相同；然而，它与当今物理学家理解和实践牛顿理论的方式相一致。也许最大的区别是取消了牛顿的「绝对空间」概念，而改用相对于特定参照系的相对位置。
第零定律是牛顿定律中最复杂和最困难的，也是最基本的。它为长度、方向和时间，因此也为所有的物理测量提供了理论基础。对第零定律的全面阐述将包括对刚体（rigid body）、参照系和参照系统等概念的定义，以及它们在测量中的作用。每次的测量都涉及到物体或过程的比较。因此，测量一个特定物体的长度，就是根据一个众所周知的、定义明确的程序，将其与一个被称作尺（ruler）的标准刚体进行比较。同样，对时间的测量是由一个叫做时钟的「标准粒子（standard particle）」相对于特定参考系的位移（displacement）来定义的。在此基础上，速度和加速度的概念可以被定义并作为任何粒子相对于时钟的运动的定量描述符（quantitative descriptor）来使用。这样，长度、时间和运动的测量就在牛顿世界中被定义了。物理世界中的测量是另一个故事，我们稍后再谈。（译注：第零定律的说法是作者所指出的，指一种在当今的物理学视角下看牛顿整体理论假设中当初所未被明确提出的假定：任何物质对象可以被建模为一个粒子（particle）或物体（body）｛粒子的系统｝；每个粒子对于一个给定的参照系的三维欧几里得空间来说，有一个确定的位置 ）
有了第零定律而来的空间、时间和粒子的概念，质量和力的概念就由牛顿定律的其余部分来定义。在图2中，我不情愿地遵从了传统列举了牛顿定律的第一、第二和第三定律，但我跟随 Arnold Sommerfeld 将叠加原理（superposition principle）指定为独立于其他定律的第四定律，并且我引入了第五定律来阐明力的关键定义属性，而这些特性通常只是被默默地引入到牛顿理论之中。
比起完整列举牛顿定律更根本的，是将其分为运动学（kinematical）定律、动力学（dynamical）定律和相互作用（interaction）定律的三层分类。这种分类超越了牛顿理论，适用于所有的物理学，实际上也适用于所有的科学。通过在牛顿理论中应用它，我们帮助学生准备好将其推广到物理学的其他领域。从逻辑上讲，相互作用定律应该放在以它们为前提的动力学定律之前。这些定律定义了相互作用的概念，作为牛顿理论中的力的概念被表述。具有讽刺意味的是，我认为以前从未被列入牛顿定律的第五定律是最基本的相互作用定律，因为它宣布存在两个只取决于粒子相对位置和速度的粒子力函数。第四定律（叠加原理）简单地将任何粒子上的净力定义为两个粒子间作用力的矢量和。因此，所有的力都可以还原为两个粒子间作用力（two particle forces）。
动力学定律将相互作用与运动学联系起来，因此决定了粒子的运动。应该注意到牛顿第一定律的微妙的、最多余的作用。当然，一个自由粒子，被定义为净力为零的粒子。这提供了一个区分惯性系统和其他参考系统的标准，说自由粒子具有恒定的速度，就是说它们定义了一个统一的时间尺度（time scale）。这个时间尺度的定义是牛顿第二定律的一个基本前提条件。第一定律以前被归类为运动学定律 [3]，但在这里被归类为动力学定律，因为它是第二定律的基本前提，而且涉及力的概念。
断言（assert）牛顿世界是由图2中的全套定律所定义的，就是断言这些定律是定义了粒子、运动、力和质量概念的公理 （axioms）。力和质量的定义在物理学家和哲学家之间引起了许多无益的争论，我认为这是由于认识论和定义的概念的缺陷。让我们对这些概念有一个清楚的认识。首先，应该认识到，牛顿理论是建立在建构主义认识论（constructivist epistemology）之上的，如图1所示，它在（真实）物理世界和为描述它而建构的牛顿概念世界之间保持着鲜明的区别。定义只与概念世界有关，根本不与物理世界有关。定义的目的是通过说明一个概念与其他概念的关系来确立它的意义。当这一点做到了，我们就说这个概念得到了很好的定义。有两种方法可以做到这一点，并产生两种定义：明确（explicit）定义和隐含的（implicit）定义。
一个概念的明确定义是通过直接用其他概念的术语来表达它。这是传统的定义概念，例如，在将「动量（momentum）」定义为质量乘以速度时使用。另一方面，一个概念的定义是隐性的，即指定一套公理，将其与其他概念联系起来。例如「几何点（geometrical point）」的概念是由几何学的公设定义的，这些公理规定了它与其他点、线和平面的关系。这样的公理必须包括在对第零定律的完整陈述中。同样，「质量」和「力」的概念是由图2中的牛顿公理（定律）的其余部分隐含地定义的。公理通过接受它们作为定义而与其他声明或方程式区分开来，因此它们不需要被证明，尽管应该确定它们是相互一致的（consistent）。像「粒子」、「质量」和「力」这样由公理系统提供有意义关系的新术语，通常被说成是「未定义术语（undefined terms）」。这是一个严重误导的表述，应被删除，因为它与「被良好定义（well defined）」这一术语的既定用法相冲突。最好是说 「一个理论中的某些术语必须被隐含地定义」，而非「某些术语必须被未定义」。
牛顿定律作为公理发挥作用，定义了概念的牛顿世界。但「定律（law）」一词表明，它们不仅仅是公理，它们有物理上的阐释，赋予它们另一个层面的意义。像「质量」或「力」这样的定量概念的物理解释可以通过指定一个测量程序来引入。这种测量程序通常被称为「操作性定义（operational definition）」。我同意 Mario Bunge 的观点，这种术语是对语言的严重滥用，应该避免，因为它导致了定义和测量概念之间的混淆。一个定义，无论是隐含的还是明确的，都是将概念与概念联系起来，而不是将概念与事物联系起来。测量（measurement）的概念是另一回事，我们将在后面讨论。
「操作性定义」的概念起源于恩斯特·马赫（Ernst Mach）在其对牛顿力学的著名批判中所信奉的最有力的实证主义认识论（positivist epistemology）。马赫认为，物理规律只是感官经验的总结，物理概念的意义只能通过明确它们与经验的关系来确定。正是在这个意义上，「操作性定义」是为了赋予物理术语以意义。作为一个典型的例子，马赫提出了一个根据粒子的加速度来测量它们的质量的程序（procedure），这个程序今天常常被作为一个典型的操作性定义来提出[6]。
相反，我们的建构主义认识论邀请我们把这仅仅看作是牛顿公理在测量质量的实验设计中的应用，而这仅仅是因为质量已经被牛顿的公理很好地定义了。事实上，马赫的程序并不十分实用。有许多其他的方法来测量质量，例如，在碰撞中使用守恒定律，而且随着物理学的发展，新的程序正在不断地被开发出来。所有这些程序都有用，但没有一个程序本身提供了一个合适的质量「操作性定义」。正是牛顿公理对质量的共同定义（common definition），使不同的程序所得到的质量值相互关联。
爱因斯坦非常欣赏马赫，但他强烈地反对马赫的实证主义，特别是他坚持认为物理概念是人类思维的自由创造。爱因斯坦的认识论立场近年来被称为建构主义，而当然，这也是本文采取的立场。实证主义认为，物理概念的意义是从物理经验中提取的，而建构主义认为，意义是被建构的，并与经验相匹配，使经验具有意义，并且使意义具有经验性（experiential）。建构和匹配的过程是下面讨论的建模理论（Modeling Theory）的主要组成部分。这预示着图1中概念世界和物理世界之间的鲜明区别。建构主义承认实证主义的一些真理，但只是一种半真理（half-truth）。
在确定了图2中定义的公理系统在牛顿理论中的基础性的角色之后，我们可以就其教学意义说些什么。我认为，为了稳固可靠地理解牛顿力学，学生应该密切熟悉图2中的整个概念系统（或它的任何更好的版本）。他们应该知道，空间、时间、粒子、质量和力的基本概念是由这个公理系统隐含地定义的，而力学中的所有其他概念都可以明确地用这些基本概念来定义。最后，他们应该知道这些概念是如何被用来建模物理世界的，这个问题将在随后的章节中讨论。
为了帮助学生把定义的公理系统看作一个整体，我把图2中的示意图设计成单页，在适当的时候发给学生。这可以通过额外的讲义提供对每一个单独的定律的充分解释来补充，这些知识，在任何情况下，学生都应该很容易获得。图2中定律右边的图标不是单纯的装饰，而是对概念的图示（diagrammatic representations）和物理学解释的关键。
我不主张在入门力学课程开始时就把图2介绍给学生，因为他们还没有准备好理解或运用它。相反，我建议在学习完运动学之后，给他们一个解释版本的第零定律，以总结和系统化他们的运动学知识。在对各种力进行研究考察之后，可以对相互作用定律进行总结。最后，在引入牛顿第二定律后，就可以展示完整的公理系统。
III.牛顿的建模游戏 NEWTONIAN MODELING GAMES
III.牛顿的建模游戏 NEWTONIAN MODELING GAMES
牛顿世界是进行牛顿游戏的概念性舞台。有许多这样的游戏，其难度各不相同，但它们都有一个共同的目标，那就是产生被验证的物理现象的模型（producing validated models of physical phenomena），而且它们都有一个从牛顿理论的定义定律中得出的基本规则系统。
【表1. 牛顿建模游戏的规则。
棋盘：某个物理参考系统的三维欧几里得空间。
棋子：点粒子或由粒子构成的模型物体。
目标：为物理世界中的物质对象和过程产出有效的模型。
合法的棋步：
(1) 粒子可以在参考系中被指定任何与特定的相互作用相一致的初始位置或速度。
(2) 粒子可以被指定任何符合一般相互作用定律的相互作用（图2）。
(3) 粒子的轨迹必须由一般动力学定律（图2）或由其衍生的定律来计算。
(4) 一个模型通过与符合定义定律（图2）的物理现象相匹配而被验证。】
表1给出了这些规则的一个简明的非官方版本。就像国际象棋的规则一样，它们规定了游戏棋盘、棋子、移动棋子的规则，以及赢得比赛的规则。初学者必须知道这些规则，才能放心地玩牛顿游戏。对于特定专门的游戏，还需要额外规则。
有两类典型的建模游戏：理论的（theoretical）和实验的（experimental）。很少有专业物理学家对这两类游戏都同样精通，甚至对一类游戏精通，所以他们必须合作才能玩好更难的游戏。一般来说，理论游戏涉及发展和分析模型，而实验游戏涉及根据经验评估模型并将其用于物理学的探索。一个已被证明能充分代表某些经验领域现象的模型被称为被（经验）验证（empirically validated）。显然，必须同时玩理论和实验的游戏，以产生被验证的模型。如图3所示，理论游戏完全是在牛顿世界的概念领域中进行的，而实验游戏则是在物理世界中进行的，以便将其与概念世界衔接起来。理论研究者建立的是概念世界（可能的世界），而实验研究者探索的是物理世界（实际的世界）。
【图3. 科学方法可以被描述为一个产生概念模型和选择那些最能表示物理现象的模型的过程。理论研究者主要从事构建和分析物理现象的可能模型（possible models）。实验者主要从事检测物理现象的规律性，而其是否可由概念模型来解释。因此，理论和实验是产生关于物理世界的经过验证知识，即科学知识的单一循环过程的相辅相成的部分。】
A. 理论游戏 Theoretical games
理论游戏有三种一般类型：(1) 模型建立（model building），(2) 模型分支（model ramification），和 (3) 模型的部署运用（model deployment）。
在第一种类型中，目标是建立一个模型以满足给定的技术参数（specifications），这些参数通常来自观察的经验数据。从历史上看，这种类型的第一个伟大的游戏当然是由牛顿本人赢得的！牛顿面临的挑战是找到支配行星运动的力的法则。罗伯特·胡克（Robert Hooke）和其他人已经猜到这是一个平方反比定律，但他们无法赢得游戏，因为他们没有一套完整的规则。虽然其他人有一些规则，但牛顿是第一个将它们整合成一个连贯系统的人；这涉及到这形成他的第二运动定律至关重要的微积分的发明。然后，他以精湛的技巧从开普勒的三个运动定律中推导出引力定律的形式，并进行反向论证。因此，他构建并验证了动力学系统的第一个模型：一个受中心引力作用的点粒子。请注意，牛顿的模型是通过与开普勒定律相匹配而自动得到验证的，开普勒定律已经有了一个良好定义的经验有效性的领域。后来对该模型的展开运用表明，它具有更广泛的有效性领域。
分支游戏是玩来分析复杂系统的属性（即，分支后果）的。牛顿一考虑到单一粒子上的引力叠加，就被卷入了这种游戏。例如，为了证明他对抛物线运动的分析，牛顿被引向而去证明他著名的定理，即球形对称的地球所受的引力与位于地球中心的单一质量的引力是相等的。当然，这提出了关于更复杂的地球模型的影响的问题，这些问题直到今天还在困扰着地球物理学家。
牛顿为分支游戏设计了一个一般策略，自此以后一直是理论研究者们的主流，尽管还在不断地改进和阐述。它被称为线性化和微扰理论（linearization and perturbation theory）。其思想是以某种幂级数来扩展相互作用。当比第一阶更高的项被忽略时，一个模型就被称为线性化。线性模型可以进行精确的数学分析，尽管完整的数学理论很大量。在线性化模型被「解决（solved）」后，微扰理论可用于评估原始扩展中更高阶项所引起的修正（corrections）。
非线性模型的全部分支后果更难确定，因为它们涉及相变和混沌等复杂现象。即使是牛顿的三体问题，对具有相互引力作用的三个粒子的运动进行分类，尽管它自牛顿以来已经吸引了几代物理学家和数学家，也没有得到完全解决 [8]。然而，最近，计算机模拟已经发展成为一种研究复杂系统行为的实用方法。因此，理论家们有一个新的分支游戏要玩。
部署游戏（Deployment games）涉及模型与经验现象和数据的匹配。通常，一个给定的模型已经在一些经验领域得到了验证。对模型进行运动以解释来自该领域的新数据是被看作常规的。如果不能实现数据与模型的合适匹配，就可能认为数据是有缺陷的，可能是由于经验性错误。
在一个新的经验领域部署一个经过验证的模型可能会导致真正的全新的物理学知识，正如牛顿第一个发现的那样，无疑是因为他有第一个机会。每个物理学生都应该知道，牛顿将他的行星运动的动力学模型应用于月球和地球表面附近的抛射物，不仅证明了这些不同的现象可以由同一个基本模型来解释，而且还建立了它们之间的定量关系。因此，他产生了证据，证明他的引力吸引定律是一个普遍的引力定律。
科学的解释（explanation）和预测（prediction）的游戏是两个流行的部署游戏。一个物理现象只有在它可以在理论中被建模的情况下才能被理论解释。因此，模型就是解释（model is the explanation）！大多数解释只是部分的或定性的。在一个定性的解释中，往往没有提到模型，尽管对了解该理论的人来说已隐含了一个模型。例如，像「潮汐是由于月球的引力吸引」这样的解释没有明确提到模型，但一个明确的模型对于解释潮汐周期是地球自转周期的一半这样的细节是必不可少的。在一个预测游戏中，模型通常更加明确，因为它需要在模拟的数据中生成一些趋势。
B. 实验游戏 Experimental games
实验性游戏可以被归类为模型部署游戏。部署是建模的经验性组成部分。实验性部署游戏与刚才提到的理论性部署游戏不同，其目的是测试和验证模型。这种对实验活动一般目标的表述需要一些理由，以免它被认为从实验或理论的角度来看都过于狭窄。
实验者可能会反对，他们从事的是探索物理世界的新现象，而不仅是评估理论研究者提出的模型。实验者常常低估理论的影响，甚至对他们自身活动也是如此，而实证主义通过宣称理论服从于实验而强化了这种倾向。例如，发现超导性的 Kammerlingh Onnes 宣称，通向知识的唯一道路是通过仔细、持续、系统的测量，他甚至在1924年就质疑麦克斯韦方程的价值。似乎他完全忽视了理论在决定「什么值得测量」方面的作用 [9]。这种严重的疏忽是如何发生的，可以通过检视一些实验者狭隘的训练来理解，即使在今天。一个年轻的学生可以开始在物理实验室工作而没有什么背景。很可能他（或她）会被介绍给一些新的实验技术。如果他有一双「天生实验家」的「好手」，他可能会完善这项技术，从而在他的领域中获得一些声誉。由于在他的实验室里看不到任何理论，他可能认为他的活动是独立于理论的。由于他在一个既定的实验性传统中获得了成功，他不需要理论的激励，并可能对他的领域的理论的基本原理保持漠视。反正他也不喜欢那些理论课程！
幸运的是，有更多有洞察力的实验者。他们认识到，每件仪器的设计和他们在实验室里做的每一件事都有一个关键的理论成分，尽管许多理论基本原理已经被遗忘，并被标准的实验程序所取代，或通过定性的思想模型（mental models）发挥作用，从而指导实验者穿过仪器的迷宫，对不可见的物体进行实验。马丁·多伊奇（Martin Deutsch）[10] 对这一切进行了极为详尽的描述，他指出:
「实验程序可以简单地包括注意记录仪器上的读数与磁铁电流的关系。所做的改变：控制旋钮的位置，以及由此产生的影响——记录仪器上的读数，这对于在实验所涉及的材料总体中几乎可以忽略不计……为什么能从这个实验中得出重要而可靠的结论呢？答案在于，实验者一开始就对正在发生的事件之间的实际联系有一个很好的结构化的图景（well structured image）。他远远没有以完全开放的心态，即科学家应该以无偏见的方式调查所有可能的联系的特点，来对待这个问题，他一开始就确信，除了他在实验中实际调查的那个事件之外，所有相关的事件发生（occurrences）要么已经被完全理解，要么至少在原则上可以根据预先构想的图景来解释。如果没有这个图景，那这个实验首先就不可能被构想出来。」
实验活动有两个主要组成部分：（1）实验的设计和阐释；（2）数据的收集和阐释。除了多伊奇所描述的直观的作用（intuitive role）外，模型在这两项活动中都发挥着必不可少的形式化的作用。因此，它们受到建模游戏规则的制约。
首先考虑数据的收集和阐释，或它通常被称作的「测量」。对于 Kammerlingh Onnes 来说，测量的完善（refinement）是科学的典型精髓的（quintessential）游戏。物理学中最根本性的测量是对长度和时间的测量。这种测量所依据的理论是如此的成熟和有效，以至于它很少被认为是一种理论。甚至在爱因斯坦之前，理论需要经验验证的事实也没有得到承认。这个理论的一个明确表述就是第零定律（图2）。第零定律规定了在进行和长度和时间的测量和比较时要遵守的规则（允许的棋布，如果你愿意这么称呼的话）。Campbell 对测量长度的程序进行了操作性分析。尽管不完整，但揭示了所涉及的一些理论上的微妙性和复杂性。尽管第零定律提供了理论基础，但在现代实践中，许多其他物理定律也参与其中，以增加运动学测量的范围和精度。电磁理论需要被用于非常大和非常小的距离测量，而量子理论则需要用于原子钟的精确时间测量。没有理论背景的物理测量是不存在的！
对数据的分析和阐释与数据收集过程中采用的程序一样，都是测量的一部分，因为没有它们，数据就毫无意义。数据只有在与某些概念模型相关的情况下才是有意义的。一个实验如果不能有助于验证或否定某个模型，那么它就是无用的，尽管这个模型在实验进行之前可能没有被表述。模型在测量中的这一关键作用并不经常被承认。
历史上，在数据阐释中部署模型的第一个伟大例子是开普勒对第谷·布拉赫（Tycho Brahe）的行星运动数据的分析。回想一下，托勒密采用本轮模型（epicycle model）来解释希腊的数据。该模型被认为是一种解释，因为它是均匀圆周运动的综合体，而希腊的「理论」将其视为「完美运动（perfect motions）」。哥白尼用更简单的围绕太阳的单一形式的圆周运动模型解释了基本相同的数据。他的结果在今天看来并不那么具有革命性，那是因为我们把托勒密模型和哥白尼模型看作是在不同参考系中表示的同一模型。真正的哥白尼革命在于认识到使用不同参考系的可能性，并展示如何在数据分析中使用它。这种可能性后来被承认为一项根本性的原则，并正式纳入我们表述的第零法则中。
开普勒在他自己的分析中采用了哥白尼参照系，并表明第谷更精确的数据无法与哥白尼模型相适应。这是 Onnes 所强调的精确测量的重要性的一个典型例子，但它也说明了模型对于使测量有意义是必不可少的。由于之前没有人考虑过均匀圆周运动的任何运动学的替代方案，开普勒不得不发明自己的模型来适应数据。他的杰出成果被表述为一个称作开普勒定律（Kepler's laws）的函数关系系统。许多物理学家坚持认为，开普勒定律是被发现的，而不是被发明的。恰恰相反，开普勒发现的，是这些定律符合数据的要求。说开普勒的模型（而不是定律），并说这个模型在第谷的观测中得到了精确的验证，这样会更好。我们现在知道，可以发明许多替代模型来适应相同的数据，但开普勒的模型是这一类模型中最简单的。我们还知道，开普勒的模型比起肉眼观测，不能适应于望远镜所收集的更精确的数据，因为椭圆的行星轨道会受到来自其他行星的引力扰动，正如牛顿最终用他的动力学理论所确定的那样。
开普勒的方法永远无法发现这一事实；我们需要牛顿的更强大的方法。如果开普勒的模型很快就被更精确的数据所否定，那么牛顿的万有引力定律无疑会更难发现，这也是不小的讽刺。这里我们有一种可能性，即科学进步可能会被更高的实验精确度所阻碍。Onnes 从来没考虑过这点！另一方面，如果不是第谷改进了方法和仪器，也就是提高了天文测量的精度，开普勒肯定也不会发明和验证他的模型！
实验者经常在他们的数据中寻找可以用简单函数关系描述的模式或规律性。这通常被称为「对数据进行建模（modeling the data）」。但是，如果把「模型」看作是真实物体和过程的表示（representations），这就是一个危险的误称。一种经验关系（empirical relation）不是一个模型。经验关系和模型之间的关键区别常被忽视或被认为是理所当然的。如果没有一个模型来阐释它，一个经验曲线是没有意义的。例如，伽利略的「落体定律」x=gr/2 指的是一个特定背景下的模型物体，其中包括参照系的规定。只有对于一个特定的模型和参照系统，这个方程才能被理解为描述「下落的过程（process of falling）」。
「让数据自己说话」的口号是基于实证主义的信念，即意义可以直接从经验中提取。与此相反，建构主义认为，理论产生模型和方程来描述和解释，而实验则选择那些与现象相匹配的模型。数据阐释是对一个模型的选择，通常是从一个具有可调整参数的模型系列中选择。有人说，科学实验的目的是向大自然提出一个问题。既然如此，答案就是一个有效的模型，而不仅仅是一堆数据。
为了了解测量是如何融入实验的一般背景的，我们必须考虑实验的设计和阐释。我们可以区分两种实验问题或测试：一种是测试科学理论本身的有效性，另一种是测试从理论中得出的模型的充分性（adequacy）。让我们依次讨论每一种问题。
牛顿理论的定义性的公理被称为定律，因为它们已经在一个广泛的经验领域中得到了经验性的检验和验证。事实上，这个领域是如此广泛，以至于在整个十八和十九世纪，它们被认为是普遍有效的（或真实的！）。只有在二十世纪，相对论和量子力学才对牛顿理论的有效性做出了明确的限制。该理论的公理不能直接或独立地进行经验检验。它们只能通过其对模型建立的影响间接地进行检验。只有模型可以通过实验进行检验，即，可通过实验研究的物理现象的模型。因此，理论只有通过验证由其衍生的模型才能得到有效验证。
作为一个例子，考虑一下对牛顿第三定律的验证，这是牛顿在《原理》（Principia）中介绍他的三大定律时唯一用实验证据支持的定律。他提到的实验是（沉默地）为了测试两个相互作用的粒子的模型而设计的。首先，牛顿引用了碰撞实验中的动量守恒作为第三定律适用于接触力的证据。虽然动量守恒在他之前就已经从实验证据中提出来了，但只有牛顿能够推导出它与第三定律的关系，因为只有他拥有第二定律，才能在双粒子模型中建立起联系。其次，作为第三定律适用于远距离作用力的证据，牛顿描述了他自己在一个由障碍物隔开的两个相吸磁铁系统上进行的实验。在那里，他做了一个重要的观察，即如果内部（磁）力不抵消，该系统就会自我加速。也许牛顿对第三定律最有说服力的证据是它对《原理》第三卷中许多相互作用的粒子的惊人意义；其中包括新的预测：地球上的潮汐是由太阳和月亮的引力共同造成的。然而，他在第三册中把第三定律应用于建模，仿佛它的普遍有效性已经无可置疑。这些结果肯定会巩固他对第三定律的信心。事实上，牛顿在第三册中开发的模型导致了一系列新的预测；其中一些很快就被皇家天文学家 John Flamsteed 的观测所证实，而另一些则让天文学家在接下来的两个世纪里忙得不可开交。这就是一个典型的例子，说明理论是如何产生问题并通过实验或观测进行研究的。
今天，牛顿理论已经得到了很好的验证，对其有效性的经验性的测试不再具有科学意义。然而，根据牛顿规则建立的物理现象模型必须经过经验检验，以确定它们对现象的描述有多充分，因为这些模型总是涉及规则中没有涉及的假设。没有任何一个单独的模型能够捕捉到一个真实物体的全部复杂性（No single model ever captures the full complexity of a real object）。
然而，原则上，对可以建模的复杂性没有明确的限制。诀窍是选择能够解释经验数据的最简单的模型。这就是作为模型部署的一个基本原则来表达的，奥卡姆剃刀（Occam's razor）。一个物理对象的最简单模型当然是一个单一的粒子。如果物体的空间大小可以被忽略，这是一个适当的模型，这个标准可以在实验和理论上进行评估。理论上的评估是通过构建复杂度越来越高的模型序列来进行的，因此在建模序列的每个阶段，都可以部署运用模型来评估前一阶段所忽略的内容。这是一个重要的建模策略，可以称为连续精细化（successive refinements）原则。不应感到惊讶的是，在《原理》中可以找到这一原则的第一次伟大的应用，因为牛顿是第一个知道所有这些建模游戏规则的人。让我们回顾他所做的。[13]
《原理》第三册（世界体系 The World System）是牛顿的最高成就。在这里，牛顿用他的引力定律玩起了建模游戏，并通过展示如何将其验证为一个普遍定律，即第一个已知的根本性的力定律。首先，他将行星建模为粒子，并解决了有固定力心的引力单体问题。由此，他推导出开普勒定律，这是模型在经验上可检验的结果。接下来，他解决了双体问题，并表明这意味着对开普勒定律的可量化的偏差。因此，他确定开普勒定律不是自然界固有的。相反，它们是一个简单的动力学模型可检验的属性，在模型应用的条件下，可以凭经验观察到。接下来，牛顿提出了多体问题，尽管他不能解决这个问题，但他能够从中得出可检验的结果。因此，他能够用这个模型来解释观察到的「月球均差（lunar inequalities）」是由于太阳对月球轨道的扰动，并预测木星对土星轨道的扰动，这很快就被Flamsteed 发现。最后，他从粒子模型转向地球的广延体模型，并发展了他的潮汐理论，其经验意义足以让天文学家们忙碌几代。遗憾的是，即使在今天，也很少有教科书像牛顿那样追求这种建模游戏；参考文献3是个例外。
这个案例说明了自牛顿以来科学家们一直在成功地应用的几条实验设计的一般原则。这些原则被总结为以下的规定。
(1) 选择一个物理现象来进行实验研究。除了实验的可及性（accessibility）外，选择的动机是某些理论问题，如上述案例中引力定律的功能形式。
(2) 从理论上为该现象发展一个模型。许多模型都有必须根据经验来确定的自由参数。另外，正如已经指出的那样，开发一连串的模型以提供可测试结果的精确性的理论估计往往是明智的。
(3) 推导出模型的可测试结果。「可测试性（Testability）」可能取决于现有的实验设备或需要改进仪器设备。
根据这个实验设计的说明，建模的每一个理论方面都可能涉及到：模型开发、分支和部署。然而，在实践中，一些步骤经常被跳过。一个单一的实验很少足以调查一个重要的物理现象。因此，一旦现象被选中，一连串的实验可能会建立起一个实验的传统，而不会重新考虑每个实验的最初动机。同样，在一个实验传统中早期开发的模型可以重复部署，几乎不需要修改来解释实验结果。例如，牛顿的天体力学模型就是这种情况。因此，在一个实验传统中，实验设计的问题往往被简化为提高测量精度的单一的问题。当精确测量本身成为唯一的目的时，这个传统在科学上就停滞不前了。为了存续，每个实验传统都需要偶尔注入新的理论问题和模型。
当然，在不同的经验领域有不同的实验设计。天文学家们说的是计划（planning ）和阐释他们的观察，而不是设计实验。然而，其中也涉及到了同样的一般建模原则。在天文学中，可以说，实验已经由自然（Nature）完成了，所以只需要收集和阐释数据。当伽利略把对物理现象的直接操作纳入实验设计时，可以向自然提出的问题范围大大扩展了。
为了总结这个关于建模的许多方面的讨论，图3展示了一个概述，它是图1的一个变体，强调了建模的过程而不是产出，即模型。正如图中说明的那样，我们对建模的分析为科学方法（Scientific Method）的清晰阐述提供了基础，与大多数文献中的模糊表述形成了明显的对比。应该认识到，这些建模概念超出了力学的范围，可以推广到物理学的其他部分，甚至是所有的科学，尽管每个科学领域都有专门的技术来构建和测试模型。这里只在牛顿力学领域描述了一般的建模概念，但这特别合适，因为这是它们的发源地。
IV. 充实牛顿世界的内容 POPULATING THE NEWTONIAN WORLD
IV. 充实牛顿世界的内容 POPULATING THE NEWTONIAN WORLD
牛顿世界是由参与牛顿游戏的物理学家所开发的丰富多样的模型组成的。这些游戏的精神范围从玩耍和实践的，到深刻和严肃的。游戏中的物理学家喜欢解释事物的「方式和原因（the how and why）」。因此，《美国物理学杂志》（American Journalof Physics）的页面上充斥着各种建模，以解释像小球、飞盘和超级球这样的玩具的惊人行为。但总的来说，物理学的发展是由一个更严肃的关切所推动的 [14]，自古以来哲学家们就把它称为「寻找终极因（Search for Ultimate Causes）」。
在牛顿之前，对终极因的寻找几乎没有进展。当他用定义明确的力的概念取代模糊的原因概念时，他把寻找变成了一个可行的科学研究计划，因此它变成了对基本力（fundamental forces）的寻找。他在《原理》的序言中提出的计划可以被描述为一个建模游戏；让我们称之为
牛顿的相互作用游戏（NEWTON'S INTERACTION GAME）：（1）从物质物体的运动中建立它们所受的力的模型，并且（2）从这些力中预测它们在新情形下的运动（图4）。当然，这个游戏是由表1和图2中的规则所掌控的，它以第五定律为中心，该定律断言存在力的函数（functions），或者说力的法则，如果你愿意的话。因此，游戏的目的是制定和验证具体的力的法则。正如已经指出的，牛顿本人以他的「万有引力定律（Universal Law of Gravitation）」取得了第一个伟大的胜利。这一惊人的成功无疑使他更有勇气提出他的游戏，作为解开自然界秘密的一般方法。然而，发现其他基本力的定律并不那么容易，所以物理学家仍然在玩这个游戏，在下一节中会提到了一些新的转折。
相互作用的游戏是在几个层次上进行的，为表2中的相互作用模型的分类提供了基础。这些模型从现象学的到根本的都有。现在，开发一个新的相互作用的模型是很罕见的，但部署这种模型是物理学家的日常工作。因此，物理教学的一个主要目标应该是让学生彻底熟悉整个相互作用模型系统以及这些模型是如何部署的。
对终极因的探索还有另一个方面，笛卡尔对此有明确的表述。他认为，所有物质对象都是由不可还原的部分（原子）组成的，所有的变化都只是部分的重新排列（rearrangement）；换句话说，所有的变化都可以还原为运动。毫无疑问，这个伟大的想法帮助说服了牛顿和其他人，运动科学（力学）是了解自然的关键。鉴于牛顿理论认为所有的运动变化都是由于相互作用造成的，物理学家们被引向一个宏大的假设，即物质对象的所有属性都是由简单的不可还原的成分的相互作用产生的。这是所谓的原子假说的一个强有力的版本。它似乎在很大程度上是真实的，但物理学家仍在对它进行评估。评估工作是复杂的，因为物质种类繁多。自然地，它可以被描述为一个建模游戏；让我们把它称为
物质归纳的游戏（THE MATTER REDUCTION GAME）：从物质对象的组成成分的属性中推导出物质的属性。
像相互作用的游戏一样，这个游戏在几个层次上进行，导致各种类型和复杂性的模型。学生必须熟悉表3中的基本物体模型。虽然不能指望他们发明这些模型，但他们必须把这些模型变成自己的，把它们拆开来看看它们是如何工作的，并在各种情况下部署它们。
当然，物体模型和相互作用模型必须一起部署，因为相互作用是牛顿世界中物体的属性。内部的交互作用是建立在广延对象的模型中的，尽管在最简单的情况下只是施加了几何约束。另一方面，外部的相互作用可以以无限种的方式强加在一个物体上。物体模型与模型的相互作用的结合就是动力学模型（DYNAMICAL MODEL）。可能的动力学模型的种类太多，无法考察。相反，表4概述了发展这种模型的一般策略，它总结了第三节中的区别。整个力学理论的子理论都致力于各种类型的模型，包括刚体理论、连续体力学和流体动力学。
动力学模型的发展是力学的核心。然而，通常情况下，最好把重点放在模型的某些特定方面，就像我们在对相互作用进行分类时所做的那样。在对过程模型（表5）进行分类时也是如此，它侧重于某些特定属性的变化，通常是具有守恒定律的属性。值得注意的是，表5中的基本运动学模型，包括开普勒的模型，都属于这种类型，因为牛顿的相互作用游戏正是从这些模型开始。
V. 打破和制定规则 BREAKING AND MAKING THE RULES
V. 打破和制定规则 BREAKING AND MAKING THE RULES
薛定谔（Schrödinger）是这样描述科学的游戏的 [15]：
「科学是一场游戏，但却是一场与现实的游戏，一场带着尖刀的游戏......如果一个人把一幅画小心翼翼地切成1000块，当你把这些碎片重新组合成一幅画时，你就解决了这个谜题；在成功或失败中，你的才智都在竞争。在科学问题的陈述中，另一个游戏者是好的上帝（good Lord）。他不仅设置了问题，还设计了游戏规则——但这些规则并不完全为人所知，其中一半是留给你去发现或推导。实验是你挥舞着的钢刃，成功地对抗黑暗之灵，或被可耻地击败。不确定的是，有多少规则是上帝自己永久规定的，而有多少显然是由你自己的头脑的不思进取（mental inertia）造成的，而解决方案通常只有通过摆脱其限制才能成为可能。这也许是游戏中最令人兴奋的事情。因为在这里，你努力对抗你自己和神性间想象的边界——一个也许并不存在的边界。你可能确实被赋予了解开所有束缚的自由，使自然的意志成为你自己的，不是通过打破它或征服它，而是通过渴望它（willing it）。」
因此，科学的终极游戏是发现自然游戏的规则，也就是了解宇宙如何运作（how the Universe works）。上帝是对手，但正如爱因斯坦所观察到的，他并非恶意的，然而，他是难以捕捉的（subtle）。
终极游戏的目标过于宏大而不切实际，因此科学被细分为一系列较小的游戏，每一个游戏的目标都比较有限，即为物理世界的某些限制的领域建模。牛顿游戏不是物理学中唯一的游戏，但所有其他游戏都是变种（variants）。通过娴熟地游玩牛顿游戏，物理学家一直在测试规则，以发现它们失败的地方，并尝试新的规则，以改善游戏。其他伟大的物理学游戏就是通过这种打破和制定规则的过程而出现的。根据这些游戏的规则与图2和表1所列的牛顿规则的不同之处来描述这些游戏是很有启发性的。
A. 麦克斯韦的游戏 Maxwellian games
当亚历山大·波普（Alexander Pope）宣称「上帝说：让牛顿存在吧，一切都很清楚了！（all was light！）」时，他是错误的。事实上，在牛顿的物质粒子世界中没有光这回事。但麦克斯韦用他的光的电磁理论纠正了这一点。麦克斯韦通过引入一个新的概念实体，电磁场（electromagnetic field），拓展了牛顿世界，与物质粒子一起被用作物理模型的基本组成部分。海因里希·赫兹（Heinrich Hertz）验证了麦克斯韦的光波电磁模型，取得了麦克斯韦新游戏中的第一个伟大胜利。
B. 爱因斯坦的相对论游戏 Einstein's relativity games
爱因斯坦认识到麦克斯韦的电动力学并不完全适合牛顿世界，他将问题归结为第零定律中的一个缺陷。牛顿版本的第零定律未能准确模拟物体在高相对速度下的运动学。爱因斯坦通过微妙地修改第零定律中的时间概念来纠正这个问题。第零定律实际上是一个空间和时间的模型。闵可夫斯基（Minkowski）表明，爱因斯坦的修改将第零定律改变为一个时-空（space-time）模型，其中空间和时间之间没有单一的分离；因此，它是几何学与运动学的融合。狭义相对论（Special Relativity）的游戏就是在这个新的时空舞台上进行的。爱因斯坦的广义相对论是对第零定律的进一步修改，将引力表现为对时空的弯曲。他的梦想是所有的相互作用都能以类似的方式还原成几何学。物理学家仍然在追求这个梦想。
C. 量子游戏 The quantum games
量子力学之所以被开发出来，是因为牛顿理论未能对像原子和电子这样的非常小的物体产生合适的模型。量子力学并没有修饰第零定律；相反，它修改了粒子、场和相互作用的基本概念。换句话说，量子游戏是在同一个棋盘上用新的棋子和不同的棋步动作（moves）进行的。量子世界是一个新的概念世界，充满了奇怪的物体和奇特的过程。在量子游戏中已经取得了许多伟大的胜利，但规则的范围仍在被验证。
像牛顿的游戏一样，所有伟大的物理学游戏都是建模游戏，因此它们共享图3所示的科学方法的所有一般特征：模型的建立、分支、部署和验证。通用的建模策略和战术在所有的游戏中都是有效的。但是每个游戏都有自己特殊的建模技术，所以在一个游戏中的高超技巧不一定能转移成另一个游戏中的同等技巧。
D. 打破游戏 Beating the game
托马斯·库恩（Thomas Kuhn）提出了「常规的（Normal）」和「革命的（Revolutionary）」科学研究之间的区别，这可以在建模游戏方面得到一个清晰而自然的表述。常规科学严格按照规则玩着伟大的建模游戏。革命性的科学通过修改规则产生新的游戏。
那些不想按规则游戏的标新立异者会怎样？通常，他们会输掉游戏，为同行所遗忘。历史表明，通过改变规则而获胜的情况很少，只有那些掌握了常规游戏规则的人才能做到。显然，只有真正的大师才能看到规则在哪里失效。
VI. 游戏教学 TEACHING THE GAME
VI. 游戏教学 TEACHING THE GAME
传统的物理学教学是极其低效的。教育研究表明，学生在进入大学物理学时，对运动和力有严重的误解，而这些误解在力学教学中只得到适度的改变 [16]。绝大多数这样的学生在开始学习时能说出牛顿定律，但仔细评估后发现，即使在课程结束时，他们也不能始终正确地应用这些定律。相反，学生们的推理仍然主要由他们的直觉的错误观念引导。研究者已经确定并归类了许多这样的错误观念，「但其中有两个特别重要，因为它们是对牛顿定律的反复出现的常识性替代。忽略变化和细微差别，[17]」这些误解可以被阐述为直观原则（intuitive principles）。
1.动力原则（The Impetus Principle）：力是物体固有的或获得的属性，而使它们运动。
2.主导原则（The Dominance Principle）：在两个物体间的相互作用中，较大或较活跃的物体施加较大的力。
显然，动力原则与牛顿定律中的第一和第二定律相矛盾，更不用说第五定律了，该定律要求每个力都有一个施动者（agent）。主导原则来自于将相互作用视为冲突，在这种冲突中，更强大的对手是赢家，这与牛顿第三定律相悖。这些错误观念的存在可能更加严重，因为它们意味着力的概念的理解存在严重缺陷，而整个牛顿力学都依赖于此。
传统教学效率低下的原因之一是没有考虑到学生的错误概念。一些研究表明，在明确和系统地处理错误概念时，取得了相当大的改善。[18] 然而，考虑到所涉及的显然是基本的和关键的概念，结果还未能达到人们所希望的程度。对牛顿第三定律的误解尤其顽固 [19] [20]。尽管在常规教学后，可能有多达90%的学生存在这种误解，但事实证明，要把这个数字降低到60%以下是很困难的。常常有人认为，这种困难是由于这些错误观念在经验中根深蒂固，我们不应该指望轻易改变它们。然而，我们在这篇文章中的分析表明了一种不同的可能性。
大多数消除对力的误解的尝试都是零敲逐个地处理这些误解，专注于与其他误解分开的个别误解。这种方法忽视了力的概念的一个最根本的特征，即牛顿理论的一致性（coherence）。正如第二节所详细阐述的，所有（六条！）牛顿定律都是定义力的概念所需要的。因此，牛顿第三定律的意义不能脱离它与其他定律的关系而被理解。这种关系只有通过应用这些定律来构建和验证特定物理现象的模型才能被揭示。这说明了处理错误概念的一般策略，也就是所谓的「以模型为中心的教学（model-centered instruction）」[21]： 集中精力明确地教授用牛顿法则建立模型的原则和技术；这包括对特定情况的模型的验证。
换句话说，教授牛顿的建模游戏。教学应被设计，以从学生那里获得对牛顿概念的替代方案的明确表述，以进行分析和评估。这样一来，学生的错误概念就会在特定的背景下得到解决，因为在这些背景下，有一个更好的选择。这是概念改变的基本条件之一，而这一条件在常规教学中很少被满足。还应该认识到，对合理的替代方案进行比较是验证过程的一个重要部分。在没有适当考虑替代方案的情况下，对物理理论的教学只是教条主义。（译注：诸如在费曼的讲座中，他举了一个用太阳阻挡粒子运动，从而使得地球背面受到的粒子冲击更多而收到了「吸引」的另一种替代的理论方案举例，并提出了它的局限和错误点）
这种在建模教学中处理错误概念的一般策略，可以用许多不同的方式来实施。马尔科姆•威尔斯（Malcolm Wells）在设计以实验室为基础的高中物理课程时采用了这一策略，在其他地方发表的有据可查的结果中[22]，该课程在消除错误概念方面被证明是非常有效的。从这项工作和相关工作中得出的一个重要结论是，如果教学能有效地处理最关键的错误概念，包括动力和主导原理，那么大多数其他的错误概念就会在没有教学干预的情况下逐渐消失。当学生掌握了一般的力的概念并将其融入他们的思维时，这一结果是可以预期的。
最对这种建模方法的强有力的历史支持来自对牛顿自身概念发展的考察，最近的历史研究清楚地表明，从牛顿最初的研究工作到他撰写《原理》的二十年间，牛顿接受了「动力原则」以及其他错误概念 [23] [24]。 从早年开始，他至少对他的三个定律有了粗略的认识，这些认识主要来自于对他人工作的研究和对两个粒子碰撞的建模 [25]。然而，直到他撰写《原理》时，他才将这些认识整合成一个连贯的系统，对所有定律进行了清晰的表述。毫无疑问，促成这一切的事件是胡克和哈雷提出的挑战，即证明受反平方力作用的行星轨道是一个椭圆。此外，只有在运用第三定律建立他的引力定律的「普遍性」和太阳系的详细动力学模型时（如第三节所讨论的），第三定律才被提升到他思想中的重要地位。
并非是某种智力上的不思进取使牛顿在其职业生活的20年里一直坚持他对「动力原则」的错误信念。而是因为缺乏一个更好的替代方案，或者至少是缺乏发展出一个替代方案的条件。当认知的冲突被点燃时（由胡克的挑战），牛顿的概念变化是迅速而广泛的。同样地，教育的一个核心问题是为学生的快速概念变化建立最佳条件。
关于模型和理论验证的关键过程，牛顿为支持他的第三定律而提出的经验证据（在第三节中回顾）尤其值得注意。教授第三定律的通常方法是简单地把它作为一个需要记忆的规则，并在应用它时需要练习 [19]。唯一的理由是对权威的隐含的诉诸。而没有任何关于验证的问题。难怪学生们对此无动于衷。那为什么不采用主导原则呢？它不是更符合经验吗？当然，第三定律值得通过建立其与其他定律的一致性和检视关键的经验证据来进行彻底的论证。
VII. 掌握游戏 MASTERING THE GAME
VII. 掌握游戏 MASTERING THE GAME
要掌握物理学中的建模游戏需要什么？任何人都能做到吗？还是需要一些特殊的天才？通过考察物理学大师的学术生活，我们可以了解到很多这方面的知识。但首先必须认识到，教科书和大众媒体对这些英雄的不加节制的赞美，已经把他们的成就扭曲得与人的比例不相称。正如爱因斯坦所警告的，我们必须警惕「那些沉醉于奉献的人的普遍弱点，他们夸大了他们英雄的地位。」[26] 他承认科学的社会层面，说：「在科学中......个人的工作与他的科学前辈和同时代人的工作是如此紧密相连，以至于它几乎作为他那一代人的非个人化的产物出现。」从教科书中，人们得到了相反的印象，例如，整个力学科学是由牛顿这个单一的天才创造的。这样做的危险在于，它造成了科学与社会的疏离，因为它给人留下的印象是，科学家们在这个领域里是与众不同的，而很少有人能够成为。
如果不是具有独特的精神力量，那么这种使一些科学家的成就高于其同行的「天才」品质是什么？对作为天才标志的具体创造行为的历史背景和认知方面的仔细研究表明，关键因素是拥有一些特殊的启发式方法（heuristic），也就是别人不知道的独特的概念方法（至少，直到后来才知道）[27]。要回答这个问题，我们必须首先将牛顿的一般专业能力的证据与真正使他与众不同的成就分开，即他的《自然哲学的数学原理》的创作。冷静的历史评估导致了这样的结论：如果没有《自然哲学的数学原理》，如果牛顿在40岁之前就去世了，他将被视为众多有成就的科学家中的一个，而不是一个高大的巨人[25]。为了支持这一结论，让我们来看看他的一些其他成就。
A. 牛顿的秘密 Newton's secret
牛顿是自学数学的，但从一开始他就能接触到当时最重要的数学著作。他在一年内就掌握了17世纪的数学[24]，但这主要包括解析几何和无限级数的课题，所以并没有超过今天的大学数学学生在一年内所要学习的内容。更重要的是，牛顿以非凡的强度和彻底性追求这一课题，包括从头开始对58种不同类型的平面立方曲线进行分类，所有这些都是他精心绘制的。他通过这种练习获得的分析几何的技术能力使他在余生中远远领先于他的同时代人。牛顿被认为是微分和积分的发明者。
然而，他并不是第一个计算导数或积分的人，也不是第一个通过现在所谓的微积分基本定理将两者联系起来的人[28]。牛顿的主要贡献是将许多已知的例子综合为一种对任何特定函数进行微分或积分的一般技术。这的确是一项伟大的成就，但在当时的数学氛围中，这也是一个不可避免的顶点。任何其他有能力的数学家都有可能做到这一点。前人詹姆斯·格雷戈里（James Gregory）在36岁时就已经非常接近了，而威廉·莱布尼茨（Wilhelm Leibniz）在访问英国并学习了牛顿所知道的一些关于无限级数的知识后不久，实际上确实独立地发明了微积分。如果历史学家们在牛顿和莱布尼茨之间臭名昭著的优先权之争中少花点精力去理清相互冲突的主张，而更多地去确定微积分出现的基本智力条件，我们也许会从这场争论中学习到一些关于创造过程的情况。长期以来，将关键科学发明和发明的唯一优先权分配给个人的传统在很大程度上掩盖了科学创造中强大的社会因素。事实上，正如微积分的情况一样，多个独立的发现比单一的发现更常见，特别是当它们很重要时。[29]
在牛顿的传记中，有很多关于牛顿在著名的鼠疫之年（1665）智性多产的言论，当时他23岁。但事实上，如果不是因为牛顿的巨大声誉，这些都不会有成为更多古人的兴趣。牛顿对万有引力定律的 「发现」通常归功于这一年，并常常以著名的苹果掉落的故事来美化，其中隐含着对突然灵感的比喻。这肯定是一个神话，即使没有苹果，尽管它是由牛顿本人在《原理》出版后鼓励的，可能是为了将「他的定律」的优先权尽可能地往前推，以保护它不受胡克激烈的优先权反诉的影响。他可能在1665年就猜到了平方反比的力定律，就像胡克后来所做的那样，但他没有能力通过建立与开普勒定律的联系来证明它。除了我们已经指出的他对动力学的理解有缺陷外，他的分析技术在这方面仍然是不够的。
牛顿在同一时期发现了二项式定理（binomial theorem），这是他的分析和模式识别能力不断提高的一个很好的指标，但它几乎没有震撼力，而且他从未发表过它。他对微积分的发明也是在1665年，但我们从这一主题的性质中知道，这不可能是一个突然的事件。虽然他很可能在那个时候就想到了他的基本方法，但他的微积分的发展至少持续了十年。他的方法的第一个书面描述是在四年后完成的，又过了两年，他的导数的「超点符号（overdot notation）」才被采用。
归功于牛顿在「瘟疫年」的最后一项伟大成就是发现白光是各种颜色的彩虹的组合。但事实是，牛顿花了多年时间才为他最初的见解建立强有力的实验支持[24]。更重要的是，牛顿在随后几年里的光学实验的精确性，远远超过了他的同行们所认为的可能性。由此我们可以推测，他对实验和数学理论都可望达到的高度精确性有了敏锐的认识。
一位著名的牛顿学者用以下的话总结了牛顿在著名的瘟疫之年的成就 [30]：
当1666年结束时，牛顿并没有取得使他声名远播的成果，在数学、数学和光学方面都没有。他在这三个方面所做的是打下基础，有些基础比其他基础更广泛，他可以放心地在这些基础上进行建设，但在1666年底，没有任何东西是完整的，大多数甚至还没有接近完成。这样的判断非但没有削弱牛顿的地位，反而通过将他的成就视为一部人类的辛劳和斗争的戏剧，而非一个神圣的启示故事，来增强他的地位。他说：「我一直把这个问题放在我面前，并且'等着'直到最初的曙光慢慢打开，一点一点地，变成完整而清晰的光。」
作为牛顿非凡能力的证据，人们经常讲述这样一个故事：有一天晚饭后，他解决了著名的最速降线问题（brachristochrone problem），而欧洲的数学家已经在这个问题上僵持了几个月。但是，考虑到今天一个优秀的本科生可以被期望在家庭作业中解决同样的问题，这一表现究竟有多了不起呢。的确，学生所掌握的数学机器已经非常完善，但牛顿在四分之一世纪前就发明了微积分，并花了多年时间将其用于各种引力问题。此外，最速降线的解是一个摆线（cycloid），而牛顿从惠更斯（Huygen's ）关于钟摆的伟大工作以及其他来源对这一曲线已经非常熟悉。还可以考虑这样的说法：牛顿本人多年来一直被一个难度不大的积分计算问题所困扰，即证明一个球形对称物体所受的引力就像其所有质量都集中在其中心一样。
有了这一背景，让我们转向关键问题，即创造《原理》需要什么。我认为牛顿的秘密有两点：（1）他是第一个在技术上精通，并将微积分应用于实际问题的人；（2）他是第一个拥有一套完整而连贯的物理世界建模原则体系的人。换句话说，他是第一个有机会玩科学的第一个伟大建模游戏的人。而他确实玩了！以魔鬼般的强度！《原理》就是这样的成果！
牛顿最大的成就是巩固了他的建模游戏的规则。但请注意，这在多大程度上取决于他的数学能力。我们已经注意到这种巩固是如何通过对开普勒问题及其双体一般化的建模而最终实现的。这是一个需要所有正确规则的问题，但简单到在数学上是容易处理的。因此，牛顿游戏的规则在模型构建和验证的过程中得到了巩固，并符合数学一致性要求。可能可以总结为，牛顿为了玩游戏而被迫发明了这些规则。
一旦知道了规则，任何有足够技术能力的人都可以玩这个游戏，就像后来许多人所做的那样，取得了巨大的成功！那么，《原则》的大部分内容是第一个玩好这个游戏的人的记录。它是通过应用强大的技术而不是神秘的直觉产生的。从这个角度看，牛顿的创造性壮举可能显得不那么惊人。我们惊叹于牛顿数学论证的独创性，部分原因是他的方法是如此笨重，以至于此后没有人能够完全掌握它们。在有人能够改进牛顿的工作情况之前，世界不得不等待半个世纪，等待更好的数学工具和技术的发展，主要是来自欧拉（Euler）的发展。
我们可以从对牛顿智力领地的这种入侵中推测出什么？我认为，牛顿的优先权问题的意义没有通常想象的那么大。在「他成功的秘诀」为人所知之后，其他人可以在力学方面与他媲美，甚至在某些方面超过他。即使没有牛顿，经典力学的产生也是不可避免的，因为在牛顿出现之前，创建物理现象的数学模型的尝试就已经开始了。如果牛顿没有出现，经典力学的出现会被暂时推迟，但无论如何都会为20世纪量子物理学的出现做好准备。
这一切都不是为了贬低牛顿的成就，而只是为了承认它们是人类普遍创造能力的产物，而这种能力并非牛顿所独有。这种能力无非是创造、阐释和运用物理世界模型的能力。正如我们在牛顿理论的例子中所看到的，这种能力可以通过精心设计的数学工具和建模技术得到极大的提高。在考虑这些洞见如何帮助我们进行教学之前，把它们放在一个更普遍的视角来看是有帮助的。
B. 建构主义认识论 Constructivist epistemology
为了分析认识和学习的认知过程，我们必须把它们放在一个合适的认识论框架中。
图1中的两部分的认识论模型（model 和 physic world） 对于这个目的来说是不充分的，因为它忽略了人类思维的关键作用。因此，我们将其概括为图5所示的三方模型。这与波普尔（Popper）和埃克尔斯（Eccles）[31] 的三个世界模型基本相同，尽管我们在这里使用它是为了一个不同的目的。在他们的术语中，世界1指的是物理世界。世界2指的是单个个体的人类思维。世界3指的是被称为文化的人类共享知识的世界，尽管我们在这里把它限定为科学的亚文化，即科学知识的宝库。它是一个由构成科学知识的共享概念组成的概念世界。这些概念是客观的（objective），因为它们独立于任何特定的个体，尽管不存在一个脱离了某人思考的概念。
【图5. 建构主义认识论认为，对物理世界的认识是通过构建物理现象的模型来实现的。由科学家的合作行动所构建的客观概念模型与个人头脑中构建的心理模型是有区别的。关于三个世界之间相互作用的标签是为了提示性的，而非定义性的。】
我们把图5解释为一个建构主义模型。建构主义有很多面貌，但它们都有一个基本原则，即知识是被建构的，而不是被发现的。在这里提倡的版本中，基本的建构活动是建立物理现象的模型，但在个人头脑中的心理模型和科学的概念模型之间有一个鲜明的区别。概念模型起源于科学家个人头脑中创造的心理模型，但它们被赋予了客观的形式，使它们独立于它们的发起人。相反，一个人只有通过创造一个心理模型来再现它，才能理解一个概念模型。这些模型通过相似性联系在一起，但这种对应关系很少，如果有的话，是一种简单的同构（isomorphism）。通常情况下，心理模型具有个人思维模式所特有的无关紧要的特征，或者，在一个有经验的科学家的头脑中，它被整合到一个丰富而复杂的知识结构中，远远超过概念模型的明确范围。
建构主义理论至少有两个具有重要教学意义的主要含义。首先，它意味着理解是一种创造性的行为（understanding is a creative act）。正如费曼在他最后一块黑板上对自己的忠告所表达的那样：「对于我不能创造的东西，我就不理解。（What I cannot create, I do not understand）」[32] 这意味着，理解牛顿理论是一种高层次的创造行为，可以与牛顿的原始创造相媲美。牛顿理论不能像电视图像那样简单地传输；它必须在学生的头脑中重新创造，而且只有学生能做到这一点。为了推动这一创造过程，学生拥有比牛顿更强大的概念工具和更有力的暗示。而牛顿也不得不从他的前辈和同时代人那里汲取暗示和工具。事实上，力学在牛顿时代之前似乎不可能被发明，因为智力上的先决条件并不充分。牛顿不得不为自己而发展了这些先决条件中的最后一个，即微积分。
这种建构主义的视角应该对所有学生的创造力以及学习物理的困难产生巨大的反思。它还告诉我们，主动参与（active engagement，而不仅仅是被动服从）对于概念的改变是至关重要的。当然，正如我们已经指出的，行为发生的背景（上下文）也同样重要。
我们的建构理论的建模版本的第二个主要含义是，模式识别技能（pattern recognition skills）对于理解物理学是至关重要的。模型可以被看作是在某种程度上与物理世界中发现的模式相似的模式。在数学模型中，模式是以数学形式表达的。事实上，数学被称为模式的科学（The Science of Patterns）[33]。模式识别能力在理解和应用数学中的有趣作用并没有得到应有的广泛重视。
C. 国际象棋和物理学中的模式识别 Pattern recognition in chess and physics
建模和数学中涉及的具体模式的识别和分析技能是认知心理学的一项困难的研究任务，在这方面还没有取得多大进展。然而，对国际象棋中的认知的研究已经产生了具有广泛适用性的见解 [34]。有经验的棋手已经发展出了重要棋子配置和组合（模式）的「知觉词汇表（perceptual vocabularies）」，他们将其视为单位（units），并运用于评估位置和规划走法。这样的词汇表，而非暴力的计算，是洞察国际象棋的基础。对于最好的棋手（特级大师）来说，词汇量已经超过50,000个，大约与博学的大学教授的词汇量相同。教育学上最感兴趣的问题不是词汇的细节，而是如何学习，或者说，如何构建。
在物理学中，就像在国际象棋中一样，大脑会从玩游戏的经验和研究好的游戏的例子中，自发地发展出一套模式词汇表（vocabulary of patterns）。
首先，下棋者的注意力被自动限制在棋盘上，在那里可以找到模式。但是在物理学中，一个几乎不知道游戏是什么的学生，很可能会注意到错误的东西，从而忽略了重要的模式，甚至学习了错误的模式（错误观念）。因此，控制学生的注意力对良好的教学设计至关重要。本文的主旨是，学生的注意力应该被引导到模型和建模的过程中，在那里可以找到重要的模式。如果缺乏系统性的注意力控制，学生在传统教学下的学习就是漫不经心（hit or miss，大部分都错失 miss ）！
与国际象棋的第二个区别是，物理学中的模式可以被赋予许多不同的表现形式（representations，例如，数学化的、图形或图表化的）。好的教学设计需要控制表现形式的选择以提高学习效果。
至少还有一件关于教学设计的重要事情可以从国际象棋中学到。我提供一些我自己从国际象棋比赛中的观察。美国有成千上万的棋手定期参加有组织的国际象棋比赛，他们的成绩有官方的数字评级，由美国国际象棋联合会（United States Chess Federation）维护和公布。根据官方的Elo评分表（译注：Elo等级分制度是指由匈牙利裔美国物理学家Arpad Elo创建的一个衡量各类对弈活动水平的评价方法，是当今对弈水平评估公认的权威标准，且被广泛用于国际象棋、围棋、足球、篮球等运动。网络游戏的竞技对战系统也常采用此分级制度），业余选手和专业选手是一起排名的，从初学者的几百分到顶级特级大师的2800分左右。「大师」的称号授予评分在2200以上的玩家。这个数字是业余选手和职业选手之间的传统分界，许多业余选手以大师级的实力进行比赛，而职业选手必须达到更高的评级才能成功。不到1%的球员属于这个类别。
Elo评分的记录包含了大量关于认知能力的信息，但我只提供了一些非正式的观察，我相信这些观察会被系统性的数字评估所证实。评级对比赛成绩有很好的预测作用，因此也是衡量认知能力的好方法。大多数比赛选手的等级在他们刚开始定期比赛时上升得相当快，在他们的余生中保持相对稳定的水平，波动的标准偏差我估计小于100 Elo点。即使在长期远离国际象棋或激烈的比赛活动之后，这种技能水平仍然保持不变。
一个显而易见的问题是，为什么技能的增长会如此突然，而且此后没有明显的经验提高？一个合理的答案是，当模式的词汇表大到足以进行常规比赛时，进一步的增长就不会被游玩比赛的要求所诱发；旧的模式足够了。这一点得到了观察的支持，成为大师的棋手会在更长的时间里持续提高。大师级实力的发展通常需要10年的时间。
这种持续增长的秘密似乎在于他们对游戏的方法（approach）。许多具有明显能力的棋手并没有继续发展。那些有能力的人的秘密可以从事后反思（post-mortem）的做法中看出，这在职业棋手中很普遍。对局结束后，对手们立即坐在棋盘前回顾整个对局，因为他们对比赛的记忆犹新，讨论战略和战术主题，分析关键点上有希望的可选项，试图找出输棋等等。这是一个诱导概念转变的理想活动，发现旧思维模式中的弱点（错误、误解），并以更好的模式取代它们。这是促进皮亚杰（Piaget）所说的反思性思维能力的绝佳方式，即批判性地分析自己的概念预设和思维模式的能力。
前面提到的马尔科姆·韦尔斯的教学方法中已经明确纳入了事后反思，这当然是他成功的关键之一。在他以实验室为基础的课程中，进行实验、收集数据和所有这些只是实验室活动的前半部分。后半部分是对前半部分的事后总结，涉及全班约24名学生。这可能是最重要的学习过程发生的时候，但必须有技巧地设计和指导。
另一个可以通过系统性的事后分析改善教学的地方是问题解决。大多数学生提交的家庭作业很少显示出反思性思维，而反思性思维对高水平的技能发展是必不可少的。即使是研究生也对最敷衍的问题解决方案感到满意，只要能得到梦寐以求的「答案」就可以了。但是，最深入的学习机会是在问题解决后的事后分析，解决诸如「解决方案的关键是什么？论证可以简化吗？如何验证这个结果？还有没有其他的方法来解决这个问题？哪一种是最好的？这个问题和解决方案可以被推广吗？这个结果有什么意义？」这样的问题是专业物理学家的反思性思维的特点。也许它在学生中是如此罕见，因为很少有人去促进它。
反思性思维对于掌握物理学的技术技能至关重要。实践是不够的，因为如果没有反思性思维的指导，很可能会被误导。技术掌握的重要性不应低估。我们已经注意到它对牛顿的伟大成就是多么关键。追溯到牛顿，剑桥大学有着推动数学技能掌握的悠久传统，并产生了伟大的物理学家——斯托克斯、麦克斯韦、罗利和其他许多人。费曼在他的最后一块黑板上给自己的建议包括 [32]：「知道如何解决所有已经解决的问题。」他的意思肯定是，一个优秀的理论物理学家必须掌握他的领域中成功的推理模式。哪里可以找到这些模式呢？当杰出的挪威数学家 Niels Henrik Abel 被问及他是如何迅速跻身前列的，他回答说 [35]，「通过学习大师，而不是他们的学生。」当牛顿被问及他是如何发现万有引力定律的，他回答说，「通过不断地思考它！」[36] 他的专注能力的确是非常出色的。伟大的技能和伟大的成就来之不易。
对技能发展及其教学意义的讨论不应回避先天性的天赋问题。牛顿在23岁时智力发展迅速，经常被认为是他的自然天才的证据。然而，我认为，这种快速发展是一种相当普遍的现象。这在著名物理学家和数学家的传记中当然很常见，总是被认为是天才的标志。但是没有人费心去研究它在名气较小的科学家的生活中是多么常见。我曾多次在研究生中注意到这一点，最近一次是在一个最初被我认为是无可救药的中等学生中，他的成绩突飞猛进。根据我自己对数据的了解，我猜测它可能发生在多达1%-10%的棋手身上，当然这取决于快速上升的标准。然而，我们知道，要使这种上升持续到高水平的能力，有利的条件是必要的，而且必须由反思性的思考和强烈的努力驱动。天赋是一个先决条件，但多少才算足够？我们再次从国际象棋中得到线索。
这里是我自己的观察，但我发现它们与大师们在谈话和发表的言论中表达的观点一致。棋手之间似乎有一条自然的分界线，即 Elo 评分约为2000——官方指定的专家水平，只有百分之几的比赛选手达到。超过这个水平的棋手的棋艺似乎与大多数低于这个水平的棋手的棋艺有本质的区别。这种区别可以被描述为一种战略意识（strategic sense），大师们很容易从棋手的选择中识别出来。拥有这种战略意识的棋手——也许是排名在2000名以上的所有人，可能有能力通过足够的努力和训练接近大师级水平。但没有这种战略意识的棋手似乎无法跨越甚至接近专家级水平，无论他们如何努力。
当然，有些具有战略意识的棋手只有中等水平（但绝不是低水平），因为他们没有花费达到专家水平所需的专注努力。战略意识可以通过经验和训练来加强，但它显然有一个先天的基础，因为它可以在新手的棋局中被识别出来，即使他们还很年轻。传闻证据表明，一个大师在调查新手的棋局时，可以很可靠地识别出那些可以发展成为好棋手的人。
如果合格的物理学研究需要与国际象棋中的战略意识相媲美，正如我所相信的那样，我们可以运用国际象棋的结论，对有能力从事物理学研究的学生的比例作出类似的估计。我们对科学人才的了解实在是太少了。可能我们的学校在压制人才方面比培养人才更有效。不过，我们确实知道，传统的物理教学有许多不足之处。只有通过在教育研究和发展方面的巨大努力来消除这些缺陷，我们才能发现教学的有效性，并对物理学人才的储备做出可靠的评价。
同时，让我们注意到，尽管很少有人能成为国际象棋大师，但几乎所有的人都能下一盘足够好的棋（credible game），并欣赏大师们的成就。物理教学至少应该能够提高普通物理学生的能力和鉴赏力，达到一个类似的水平。
VIII. 结论 CONCLUSIONS
VIII. 结论 CONCLUSIONS
大多数初学物理的学生都在浪费时间，玩着错误的游戏。他们认为游戏是为了收集事实和记忆程序。这使他们对物理学的结构和它对物理世界结构的洞察视而不见。
建议的补救措施是「以模型为中心的教学（model-centered instruction）」。从一开始就应该告诉学生，物理学的游戏是发展和验证物理现象的模型。他们应该明白，像牛顿力学这样的物理理论是一个连贯的设计原则系统，用于构建这样的模型；换句话说，理论是一套有效的规则，用于玩建模游戏。学生们必须通过分析模型如何运作和在各种物理情形下的部署来描述、预测、解释现象，或设计实验和设备，从而发展出一套非常熟悉的模型库。这些模型必须是他们自己构造的，在某种意义上，这些模型被整合到他们的思维中，作为理解物理现象的概念工具。玩建模游戏应该帮助他们学习科学的目标和方法。
以模型为中心的教学可以通过许多不同的方式实施。Richard Hake 和 Arnold Arons 是物理学教学中苏格拉底方法的直言不讳的倡导者[2]。在这种方法中，教师不是信息的来源，而是学生之间讨论的主持人（moderator），他用探究性的问题来激发学生的讨论，诱导他们表达、澄清、批评和证明自己的信念。这种方法至少有两个主要优点，应该被纳入任何教学计划：（1）它将控制权从教师转移到学生身上，使学生对自己的信念和判断负责。它是以学生为中心而不是以教师为中心。(2) 它鼓励反思，引导学生深入了解自己的思维过程。简而言之，它促进智力独立（intellectual independence）。然而，纯粹的苏格拉底方法有严重的弱点：它没有系统地导向具体的目标，而且它缺乏一个引入新思想和概念工具的机制，以提高讨论的质量。
由于这个原因，应该采用改良的苏格拉底方法，在这种方法中，教员引入思想和证据，以加强和指导讨论。但这必须谨慎进行，以免干扰学生独立性的培养。为了达到最佳效果，苏格拉底式会谈必须在整个课程中具有连贯性。在早期，学生们必须对提出问题、制定答案和评价证据的标准达成共识。以模型为中心的教学为所有这些提供了一个连贯的框架，正如本文所解释的，包括对科学方法的明确表述。教员可以通过提出这样的问题来刺激学生将这一框架融入他们的思维：「什么是有益处的物理系统，它与环境有什么互动？我们应该采用什么模型来描述这个系统？该系统的哪些属性被建模，哪些被忽略或被忽视？该模型对数据的解释如何？」其目的是促进对科学知识和论证结构的洞察，并帮助学生使之成为自己的知识。马尔科姆·韦尔斯成功地将这种方法用于实验室活动的事后反思。事后反思应该是学生建模游戏的一个惯常特征。
这篇文章旨在对以建构主义认识论为基础的教学理论作出贡献 [21]。作为以模型为中心的教学的基础，牛顿理论和应用已经用游戏的形式表达出来，希望这将有助于吸引学生的兴趣和加强对该学科结构的洞察力。我们已经回顾了这种方法在物理学、认识论、哲学和教学法方面的广泛理由。然而，教学理论在指导教学设计方面的价值还有待证明。这里不能讨论实施过程中的诸种兴盛。我们只注意到一个早期的、不完整的实施方案[37] 和马尔科姆·韦尔斯的高中版本[22]已经产生了令人鼓舞的结果，但是在挥舞任何旗帜之前，还必须取得更多的成果。理想情况下，这篇文章将吸引一些以此为己任的读者。
致谢 ACKNOWLEDGMENT
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This work was partially supported by a grant from the National Science Foundation. 这项工作得到了美国国家科学基金会的部分支持。
参考 REFERENCE
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