Excel模拟抽奖（二）：祈愿台or“断头台”？一篇文章带你深挖“伪保底”类游戏抽奖

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马上就要迎来一年一度的三国杀OL周年庆，官方公布的众多活动想必早已让不少玩家跃跃欲试，计划全力氪金了。本次首发的谋董卓和南华老仙两位阴间双煞更是多次放出体验卡，让玩家在军八对局中望风披靡，即使目前已经再三削弱但是强度依然在线，属实是吊足了玩家的胃口。但游戏需理智，氪金更要谨慎，本次笔者便为大家带来一期三国杀OL祈愿台的Excel模拟抽奖试验，带大家更直观的感受祈愿台这类“伪保底”抽奖的机制。
本篇文章较长，请读者耐心观看。只想看结果的朋友可以跳转至文章末尾分析部分。

一、祈愿台介绍
祈愿台目前是三国杀OL主推的氪金消费活动，自从官方去年十二月周年庆首次推出谋姜维台子后，该活动便不间断的连续返场了一年时间。无论是蜀中篇的谋庞统，五一节的族钟会还是国庆节的谋孙坚，官方都会通过进行联动和制作PV等方式来做足前期预热，对其的重视性可见一斑，另一方面也印证了该活动的吸金度之高。

但事实上，祈愿台活动初次上线便招致了玩家的口诛笔伐，一方面是因为三国杀的风评在互联网上太差，但另一方面更多的是因为其效仿手杀盒子的无保底机制，所以后来才被玩家戏称为“断头台”。但祈愿台究竟有何等魅力，能让官方如此重视，让玩家边骂边冲呢？考虑到有读者或许没有玩过三国杀OL，亦或者没有体验过祈愿台活动，我们还是先放一下官方玩法介绍：
参与祈愿台，可点击开启1次/50次进行祈愿，单次祈愿消耗龙珠*1。每次祈愿必定获得功勋*1，并可获得随机获得一个祈愿台奖励库中的掉落道具。
注：龙珠*1=200元宝，新龙珠有效期截至2025年12月31日，龙珠后续可在“龙珠活动”返场时使用。 
玩法很简单，玩家消耗龙珠进行抽奖，直接概率获取对应奖品，比起翻翻乐和祈福等活动先获得积分再兑换奖品的方式简洁了不少，但恰是其简单的外表才更容易让玩家麻痹大意，贸然尝试，最后悔不当初。祈愿台有些类似三国杀OL最经典的礼盒活动，只是单次抽奖价格略低且没有保底。一眼看过去似乎就是个无底洞，没有保底机制就可能永不出货，但偏偏每次活动都有不少苟托纷纷晒图，勾的人蠢蠢欲动，是什么原因导致了这种矛盾现象？这就需要我们在模拟中进一步探讨。
二、分析与模拟步骤
Step1：概率分布
需要值得肯定的是三国杀每次活动前都会把活动的详细概率公布出来，这样便可以让玩家抽奖前有一个心理预期，在此我们先按照官网公布的概率，不加修改的引入到我们的 Excel 表中。 

我们此处拿最新的韩馥祈愿台举例，通过上图可以明显地感受到武将极低的爆率，公示是用百分数来表示，更直观一点可以换成小数，韩馥 0.07%=0.0007，笔者上次见精确到这个位数的小数还是在央视大国工匠纪录片中。
Step2：编写随机掉落物品函数
我们沿用上期文章的圆盘法构筑底层逻辑框架，将官方公告给出的20种奖品按比例分布在圆盘上。在此笔者一开始依然想用 IF 嵌套来编写，但是发现此次所需参数远多于上次，且不说最终呈现出来的结果巨长无比，非常不利于阅读与后期修改，更重要的是2013版IF函数容纳不了这么多参数，直接报错。所以笔者更新了 Excel 版本，采用上期一位读者朋友在评论区提到的  IFS 函数，有效地解决了这些问题。

值得注意的是我们这里并没有像翻翻乐一样构建一个“武将库”函数专门存储武将，而是把三个武将分别列出直接放置在 IFS 函数中。这是因为翻翻乐活动在官方公告中指明要先抽到武将库这样一个奖品后再执行下一步判定，那么对于武将库内武将的获取概率将是一个有先后顺序的条件概率。而祈愿台活动是直接掉落，我们也无需画蛇添足的设计这样一个中间机制，因为这很可能会导致一些意料之外的结果，这点我们在第四节会再做分析。
Step3：提出假设
就如一开始所说，祈愿台活动是没有官方给出保底机制的，但试想一名玩家真的是运气极差，花光游戏内积蓄又充了很多钱，最后还是没出货，玩家肯定会恼怒不已，自己花了钱还败了兴，而官方很可能就此流失一位RMB玩家，这种两败俱伤的结果无疑是双方都不愿意看到的，所以才会有我们所说的“伪保底”，也即进阶掉落机制。但这里需要额外提醒的是祈愿台陪跑武将（即不作为祈愿台界面右上角传世珍宝的武将）是真的没有保底的，玩家不要为了获取陪跑武将来抽祈愿台，现实中已有惨痛的案例教训。

由于真实的概率函数对外隐藏，所以我们只能根据网友发布在网上的案例来反推概率模型，所以本篇的预测结果与实际会有一定出入，仅供大家参考。通过在各大论坛和B站视频对现有案例进行分析研究并结合笔者自身经历，记保底次数N，我们可以作出如下假设：
1.官方公布概率属实，不存在暗改；
2.传世珍宝武将存在“伪保底”，大祈愿台(50玉玺)保底 1350-1450 次，如果当期有赠送宝珠则在此基础上再加100-200次左右，小祈愿台(≤20玉玺兑换)保底 700-800 次；
3.大祈愿台进阶掉落阈值在 N-150 左右，小祈愿台则在 N-100 左右；
4.祈愿台的进阶掉落机制采用概率累加模型，即到达进阶掉落阈值后每次抽奖会使传世珍宝的掉落概率+y直到出货；
5.首发大祈愿台的首发陪跑武将（如谋太史慈、马玩等）也会有概率加成，其他情况皆无。
在此假设下，结合官方公示可知武将出货概率和X一般在0.18%左右，则抽 1000 次出武将的期望 E(X)=1.8，那么由泊松分布可得玩家抽不到武将的概率 P(0)=e^(-1.8)≈0.165，所以玩家还是有较大概率在 1000 次内抽出武将。对于本次模拟的小雪祈愿台，传世珍宝韩馥标价40玉玺，不属于大祈愿台，保底在 1250 次左右比较合理，但榜一大哥的保底次数却达到了1376次一个大祈愿台的保底，这其实侧面印证了假设4的合理性，极端情况下会有运气不好的玩家在概率累积到85%以上时还没出货。

Step4：拟合y值
对于假设5此处我们不多做探讨，仅考虑传世珍宝的概率累加。拟合之前我们先尽量缩小y的范围，如上文所说玩家还是有比较大概率在1000抽内抽出武将的，那么针对传世珍宝韩馥，在开始进阶掉落（1150次）前，玩家就能抽到的概率：
P=1-(1-0.0007)^1150≈0.553=55.3%
可以看到概率已经超过一半。有的读者看到这里可能会有疑惑，在进阶掉落前每次抽奖的概率不都是一定的吗？并且抽奖事件相互独立，那么抽到韩馥的概率不应该始终为0.07%？这里就需要我们有一个整体意识，诚然每次抽奖抽出韩馥的概率都为P1=0.07%，但是根据全概率公式，抽M次抽出一次韩馥的概率是 P2=1-(1-P1)^M，而不是P1。
既然概率P已经很高了，那么y就先尽量取小，先假设y=0.01%，那么到预期保底1250次抽出韩馥的概率是多少？这里笔者先用 Stirling 公式化简，但很遗憾得到的式子依然有(10^4)^10^4这样超级庞大的数字，在办公电脑上想实现这种计算几乎不可能，这时笔者的朋友为笔者提供了一个强力工具——Wolframe Alpha，顷刻间便得出结果：

 此时我们可知y取0.01%概率叠加时，到1300次保底得到韩馥的概率： 
P≈1-0.447×0.288≈0.871=87.1%
概率已经很大了，理论上大部分玩家都会在这个保底区间内抽到武将，但实际抽奖中结果如何呢？假设玩家前1150次都没有中奖，我们用 Excel模拟达到进阶抽奖阈值后的150次抽奖，取步长为0.001%，遍历0.005%~0.015%区间的11个数，用VBA遥控Excel求取这11种情况下100次模拟中抽出韩馥的平均次数。
注：由于概率累加到150次后抽出韩馥的概率不为100%，所以笔者在251列直接填入韩馥，若前150次没有中奖，则按多抽100次计入本次抽奖结果，即对应1350次的“真保底”。

据此结果，可推断要想让玩家恰好在保底次数附近抽出传世珍宝，取 y=0.0009% 最佳。但同时为避免小概率事件发生，官方一定会在 1400 次左右设置一个100%出货的临界点，个人感觉不会是榜一大哥的 1376 次，因为真想 1400 次还不出货的概率确实太小了。
Step5：进阶掉落
确定y后就可以在主表中加入进阶掉落机制了，核心思路是再单开两列一列记录进阶掉落概率，一列记录进阶随机数，检测前1150行是否掉落韩馥，若无则从1151行开始，进阶掉落函数列的每行迭代+y直到出货然后回归原概率。同时在1150行之后将随机掉落物品函数中韩馥的概率分配给水晶碎片，增加判定条件：进阶随机数是否小与进阶掉落概率，为真则输出韩馥为假则执行后续判定。

Step6：结果展示
在此我们化身榜一大哥，单次模拟抽奖1376次，看看站在榜一的视角，我们最终会获得哪些物品。现实中玩家抽到传世珍宝就不会再抽下去了，但为了检验结果准确性，笔者没有将物品掉落结果统计截止在第一次掉落韩馥的位置，但是读者如果有除武将外的物品需求同样可以将下方模拟结果作为参考。

在此我们展示了10次模拟抽奖结果， 可以看到真实概率与假设概率误差基本在±1%，证明模型结果可信， 取y=0.0009%时，10次模拟最终都有韩馥保底出货，再次证明所作假设与y取值合理。
三、结果分析
模拟结果不知道是否在各位的预期之内，最接近真实榜一的是第三次：1367次圆梦，副产物  14个玉玺，1个族王昶，1个凌操，花费273400元宝，按100：1汇率换算，合计2734RMB；最苟托的是第9次：307次就出货，合计614RMB；而大部分玩家都会在1000次左右出货，所以准备抽大祈愿台前最好库存有20万元宝以上，否则很容易“大败而归”，到时候拿钱再硬充就很亏了。

关于RMB的换算此处直接采用了官方汇率，实际中如果有多倍返利或者抵价券，花费会更少一些，但是这些优惠手段本质上都是游戏官方刺激消费的手段，并不会真正省去多少花费但却给玩家一种占到不少便宜的错觉，事实上即使在三倍返利的前提下，玩家要想保底一个大祈愿台武将仍需一个648加一个328的充值，近1000RMB换1个武将，如果明码标价怕是没人会买，但正是有了层层伪装，才能蒙蔽玩家不断充值。
根据结果来看官方公布的概率可信度还是很高的，而且也没有暗箱操作的必要，20万元宝/人的消费也足以达到一周的消费指标，像周年庆这种大活动参加的人数一多更是能大量回收玩家手里的压仓货币。但同时，苟托武将的概率也没有玩家想象中的那么低，1100抽出武将的概率就已经超过一半，所以每期活动都会有不少玩家分享自己小几百甚至几十次就出货的图片，这其实也是为什么祈愿台活动连续上线一年仍能“经久不衰”的原因之一，如果你参加祈愿台次数比较多，肯定都或多或少有过苟托经历。但毕竟这是一个概率问题，想要次次苟托也是不现实的，所以如上文所说如果你想拿下某一期的大祈愿台武将，请最好准备20万以上元宝。

最后，由于本次周年庆传闻十万元宝的黄承彦要1600灵宝返厂，不少库存不够的玩家动了抽祈愿台补灵宝差的想法，所以笔者在此多说两句，1000次祈愿的灵宝产出期望只有385.6个，如果你正好想抽祈愿台，而灵宝只差500个左右，那么可以通过祈愿台来补差值，但如果差的比较多，又只想小抽几十次单纯补灵宝，那么笔者在此是非常不推荐的，因为抽奖次数越少，在等概率条件下结果波动越大，最后极可能只有几十灵宝产出，甚至可能还不如武将包返的多，所以一定要慎重！
四、有关“玄学”的一些看法
在笔者收集数据时，发现了不少玄学教程，诸如活动刚上线的当天凌晨抽出货概率高、先单抽“打窝”再五十连抽更容易出武将、抽奖时切换界面卡BUG出货等等，之前笔者对这些玄学视频都是付之一笑，但在本次深入研究“伪保底”类抽奖后，笔者对这些“玄学”方法有了更多见解。
有些读者可能知道电脑生成的随机数都是伪随机数，或者说即使能生成真随机数但是也不用，因为实际应用中真随机数可能还不如伪随机数效果好。比较简单的随机算法如大数取模可以便于读者理解电脑是怎样生成伪随机数的，而目前市面上的随机算法五花八门，例如笔者用 Excel 模拟抽奖的基础函数 RAND 函数，就是用 Mersenne Twister 算法来生成伪随机数的。那么游戏官方的抽奖活动一定也是用的伪随机算法，具体长什么样我们不得而知，这几乎不可能反推，但知道了这个原理，我们就可以在抽奖“玄学”上做一些文章。

首先有关伪随机是否会干涉游戏抽奖这点，笔者是持肯定态度的，因为在用 Excel 对祈愿台抽奖的大量模拟中，容易生成十分接近于 0 和 1 的小数，一开始笔者建立了武将库函数来模拟，并把其放在了圆盘的末尾，发现模拟的出货率不正常的增高，后来猜测应该是 RAND 函数随机数算法的问题，遂将武将分别列出，间隔分布在圆盘上并尽量避免放在首尾两端，此时产生的结果便恢复正常。
那么三国杀抽卡系统采用的伪随机算法有着怎样的规律？哪些因素会影响抽卡结果呢？这是一系列开放性问题，网络上找不到标准答案，即便游戏官方或许也不能完全掌握其运用的随机算法，在此笔者根据多年的三国杀经验，以及本次调查的数据，做出如下猜想，仅供读者参考：
1.祈愿台活动开放后，第一个抽祈愿台的玩家一定会抽到传世珍宝。此猜想基于每次祈愿台活动开放后圆梦榜必然会迅速诞生“一发入魂”的玩家，所以如果你的手速和网速够快，可以尝试争当抽奖第一人。
2.一个账号不会一直欧，也不会一直非，游戏官方不会希望一位RMB玩家每次抽奖都保底，虽然在概率上这种可能性也很小，但一定会对连续几次活动都运气不好的玩家进行抽奖概率加成，以提高氪金用户留存率。同时一个账号不会一直欧倒不是官方会故意削减运气好的玩家的获奖概率，只是从概率上看可能性实在太小。
3.新注册账号会有额外抽奖加成。此猜想基于笔者自身与网友的经历，笔者刚入坑三国杀OL的时候抽箱子就没有保底过，估计官方的随机数算法里将账号注册时间作为“种子”，这个数较小时出货概率会较大，所以如果你是新玩家可借此机会多参加抽奖，你将比老玩家更具优势。
3.其它如在抽奖玩家多时抽，50连抽有概率加成，刷新界面卡BUG抽等笔者认为只是玩家的一厢情愿，就像斯金纳箱实验中的鸽子和小白鼠一样，一些偶然的举动会让其误以为是得到奖励的条件，进而表现出一些奇怪的迷信行为，但实际并无可执行依据，请各位自行甄别。
五、结尾
目前这种对玩家不太友好的“伪保底”在网络游戏中已经广泛应用，因为这会给游戏策划一个灰色的调整空间，但更重要的是带给玩家对未知的期待，通过隐去让人望而却步的保底数字而只展示苟托大奖的玩家数据，就会给人一种我上我也行的错觉。三国杀OL左下角还为玩家贴心提供了圆梦榜来让玩家参考中奖次数，除了榜一大哥的保底次数，更多的是低次数的最新梦圆玩家，事实上连续6次圆梦都是低次数的概率是极低的，所以这个榜单基本上就是官方诱导玩家参与活动的一个小手段。

另外，祈愿台抽奖一个比较精妙也比较隐晦的诱氪手段是官方设置了一个50次一抽的按钮，看似单抽一此200元宝，但用这个按钮抽一次要10000元宝，而玩家往往更倾向于这一快捷的选项，一次1万不多不少，但是动动手点十次按钮10万元宝很快就没了，抽奖过程中玩家大概率不会刻意记录自己抽了多少次，点了多少下，自然也不知道已经花费了多少元宝，注意到时已经提示元宝不足了，所以抽奖前一定要好好估计一下预算，不然投入沉没成本后再后悔就来不及了。
最后，不知不觉已经写了许多，非常感谢各位能耐心的看到最后，希望能带给大家对游戏“伪保底”类抽奖与抽卡“玄学”更深层次的认识，如果你也有一些这方面的想法欢迎在评论区进行讨论分享。明天等官方通告发布后，我将利用现有的两个模型分别预测一下谋董卓祈愿台和南华老仙翻翻乐的预期掉落情况，大家敬请期待。