数学：自我超越的历程（上）

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如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。

——庞加莱
如今，互联网上似乎存在着两种对待数学的截然不同的态度。一种认为数学在生活中的实用性有限，只要会加减乘除就够用了。另一种认为数学的用处极大，知乎上有一个提问：如何评价微博上的“数学滚出高考”这一话题，底下的答主纷纷举出数学用处的论证和例子。

这两种观点，尽管差异很大，但是其实都建立在一个默认的基础上——他们都认为数学是一门实用性极强的学科。是否有必要了解数学，取决于它是否有利于日常生活和工作。

那么真的是这样吗？即使不考虑数学的实用性，我们也应当了解数学，它是帮助我们理解现代社会诸多现象的一把钥匙。

在《西方文化中的数学》这本书中，M·克莱因用历史方法研究数学的发展。他认为，数学一直是一种主要的文化力量，是一种理性的精神。正是这种精神，激发、鼓舞人类的思维，亦正是这种精神，决定性地影响人类社会的物质、文化生活。毫不夸张地说，这是一门关于人的本性的科学，和哲学类似，数学也是本体论的，它尽力探求和确立已获得知识的最深刻最完美的内涵。
 
的确，这种思想与当今的数学教育背道而驰。我们的数学教育，继承自苏联，重技算轻理论，如陈方正在《继承与叛逆：现代科学为何出现于西方》中所言：中国与西方数学的根本差别，即前者只重程序，而不讲究直接、详细、明确的证明。从幼儿园的“珠心算”到考研的各种偏题难题，处处体现了这种功利实用倾向和计算技能崇拜。这一朵偏见的乌云遮蔽了数学的本质精神，带来了三个重要的后果。

第一，不管怎么提高数学在基础教育中的重要性，国民的科学精神和思维能力依然令人失望；第二，中学教育和大学教育脱节严重，这一点主要体现在科研层次上，数学教育上没有多少改变，考研的题目也都是“死气沉沉”的计算题；第三，大多数人对数学不感兴趣，甚至提到数学就瑟瑟发抖，我们需要更多的张宇和另一个李永乐老师。

那么是否有可能，通过重新审视数学的起源与发展，把数学当作我们社会的一种基本文化活动，进而解决这些重要问题呢？当我们开始把数学当作一门语言、一种逻辑思维方式，我们或许能够触及数学的本质和灵魂。
数学的发展历程——超越

数学的发展，是一个不断自我超越的历程。它从一种纯粹的经验法则，发展成科学推理的支柱，如今已是一个庞然大物。它决定了大部分哲学思想的研究方法，摧毁了中世纪的基督教教义，为政治和经济学说提供理论依据，塑造了绘画、音乐、建筑的艺术风格。

数学作为经验法则

对于埃及和巴比伦文明 ，数学是一种生活技艺。希罗多德曾记录，埃及法老将土地分封给埃及人，所有埃及人根据自己土地的面积纳税。土地面积的测量精度，决定了税收的数量，几何学正是诞生于这种对土地面积精确测量的需求之中。

生活中的实际需要，促使古埃及人和古巴比伦人创立了数学，他们为数学积累了大量的公式和基本技巧。不过，这些数学知识都是通过经验获得的，被用于解决实际问题。它们既没有得到证明，也没有整理成为完整的数学知识体系。

数学的第一次超越——初等数学

对于希腊文明，数学是美的艺术，它和文化紧密相连。

希腊人重构了数学，建立了初等数学。他们抛弃了通过经验、归纳等方式获得的所有数学公式与规则，将演绎推理作为数学证明的唯一方式。欧几里得在《几何原本》中创立了一套公理系统，通过严格的演绎法成为了人的一种思想体系推出定理，构造了几何学。从此以后，数学从农夫的量尺中解放出来了，成为了一种思想体系。人们开始运用理性做出判断，理性的美和条理性开始显现。

希腊人还将数学抽象化了，他们从经验、直觉出发，例如，把拉直的绳子定义为线段，从而把物质实体从数学概念中剥除，这就使得数学获得了一般性的优点。获得了一般性的数学，超越了单一领域的限制。以前，数学不过是推动其他领域进步的工具，现在它成为了一门跨学科的艺术。

在希腊文化中，很难把理性因素与美学因素、道德因素分开。希腊风格的实质是简练、清晰和严谨，数学独特的逻辑思维方式启发了希腊哲学、建筑、文学的创作。从帕特农神庙巍然屹立的柱廊，到毕达哥拉斯的协和音程，处处都有数学的痕迹。

数学的第二次超越——变量数学

数学的第二次超越，在中世纪末期姗姗来迟。如果说欧几里得的几何学，还残留经验和直觉的影响，那么牛顿的天文学，就已经抛弃了感官的证实，想要感受地球的自转和公转，在没有间接手段的帮助下，只得依靠数学理论。

此时的数学研究，目的是通过发现自然界的数学关系，来揭示上帝创造世界的伟大。然而讽刺的是，数学家的工作，却摧毁了宗教的基础，促成了思想的解放。

伽利略的数学研究方法，奠定了近代科学的基础。不管是古希腊还是中世纪，科学家们都致力于解释自然现象发生的原因。问为什么，是人的天性，不过寻求确切的答案，有时候很没有效率（亚里士多德花费了大量时间试图解释为什么扔向空中的物体会落回地面），有时候无法直接获得（社会学中需要运用统计学的测量结果推导社会的运行机制）

伽利略意识到了这一点，他用数学公式的推理代替旧的研究方法。首先，他从现象中推导出一般的运动原理；其次，把原理中的基本性质推广到所有物质实体；最后，关于现象的定量描述取代了对现象的定性解释。

让我们看看牛顿是如何运用这一思想的。

首先，根据生活中的自然现象，牛顿猜测地球对地面上物体的作用，和地球对月球的作用，能够用同一个公式描述，他把这个作用力定义为“万有引力”。经过一系列运算，他计算发现一个物体对另一个物体的引力，取决于这两个物体中心距离的平方，而且引力随距离的增加而减少。月球在轨道上运动的向心加速度与地面的重力加速度比值，符合他的计算结果。这证明了两种作用力是相同的，它们遵循着同一种定律——万有引力定律。

他的下一步工作是把万有引力定律推广到所有物质和运动上。他证明了所有自由落体运动都以相同的加速度下落（a=kM/r^2 )，验证了开普勒三定律的正确性，计算出了地球和太阳的质量。牛顿最终确信，所有的自然现象都可以从运动定律和引力定律中推导出来。

可以看到，牛顿定义了“万有引力”，却没有讨论引力的物理本质。相反，他给出了引力的定量公式，测量了物质的惯性和引力的性质。通过这种研究方法，他取得了比定性分析大得多的成就。

此外，笛卡尔引入了坐标系的概念，在平面曲线和二元方程之间建立了联系。牛顿和莱布尼茨分别独立地完成了微积分的建立。代数在数学中开始占据主导地位。傅立叶、麦克斯韦等伟大的科学家沿着定量分析的方向，在声乐、光电等领域都留下了科学数学化的痕迹。
现代数学？

朋友，在接着讨论数学的发展前，先停一停。我们先提出一个问题：数学的本质是什么？换句话说，该怎么定义数学？关于数学的定义，根据数学的发展历程，参考欧几里得的做法，似乎是不辩自明的。数学是一个真理体系，数学的真理性通过以下三个步骤建立：第一，寻求不可置疑的、绝对真实的公理；第二，通过严谨的演绎推理推导出定理；第三，将理论应用到现实世界加以佐证。

这三个步骤看起来无懈可击，几千年来数学正是通过这个方法建立起了宏伟的理论大厦。不过，在十九世纪，这个大厦看似稳固实则摇摇欲坠。微积分的基础混乱不清，非欧几何超乎人类感官的局限，无理数、负数、复数的概念缺乏逻辑基础。任何一门数学在逻辑上都是得不到保证的。实数系、代数学、欧式几何和非欧几何，它们要么逻辑不完善，要么根本就没有。
数学的问题究竟出在哪儿？其实，数学不是一堆天然的宝石，而不过是人工宝石。数学公理和定理不一定是物理世界的真理。在某些特定的领域，公理及其逻辑结果能够非常精确地作描述。可是一旦这一领域的范围扩大，这种适用性就可能丧失。 换言之，数学家们是在将感性知识转变为理性知识。

数学家们终于认识到，与自然界的法则不同，数学是主观构造的产物，按照克莱因的说法，“数学不是建立在客观现实基础上的一座钢筋结构，而是人在思想领域中进行特别探索时，与人的玄想连在一起的蜘蛛网”，因此要把数学建立在严密的演绎上，用逻辑的前后一致与彼此相容取代对实际情况的依赖。

既然数学不具有真理性，为什么人们能通过数学构造出那些宏伟的工程呢？因为，一个理论的应用，与其真理性没有关系。它之所以还能够应用于现实，是因为它能够为大部分实际问题拟合出一个很好的结果。在现实面前，这个理论只是一个比较实用的假设，它是在人类不断修正中发展起来的。

这正是数学的第三次超越，数学真理性的丧失，象征着数学进入了现代数学时期。围绕着数学的基本问题，数学家开始建立公理化的系统，罗素、怀特海提出了逻辑主义，布劳威尔提出了直觉主义，希尔伯特提出了形式主义。三个流派各自有各的不足，哥德尔不完备性定理更是沉重地打击了希尔伯特。不过，通过数学家们几十年来的不懈努力，现如今，数学语言的严密性大大地加强了。
作者非数学专业学生，如有错误请指正。