阅读思考｜函数与我们的联系

本文系用户投稿，不代表机核网观点
一、写在最前面
最近花了些时间阅读了杂七杂八的书，也花了一些心思接触了诸如python、excel等计算机操作方面的知识。然而对于人类来说，在没有现实世界的需求的情况下，输入的知识变得多而杂后反而更不利于成长，不仅会分散自己的注意力，还会对学习本身产生焦虑。
于是乎，为了保证我能拥有一定的产出，我决定抽空表达出属于自己的思考，向平台的小伙伴们分享一下自己学习知识时的感悟和理解，当然能提供给各位一个来看待事物不一样的角度本身，也会让我欣喜不已。
二、什么是函数
我们从中学时代便开始接触函数。从憋不出数学题答案而抓耳挠腮时的烦闷，再到费尽心思最终解出谜底后忍不住要向周围同学炫耀的那一份欣喜。一次函数、二次函数，虚函数乃至更为复杂的高等级函数，各式各样的函数题给我们的学生时代留下了浓墨重彩的一笔。
而与函数打交道这么长时间的我们，能否真正地意识到它对于我们日常生活的重要性呢？
来看看函数的基本定义：函数是将一个对象转化为另一个对象的对应法则。转化本身涉及输入与输出的过程。我们输入了一个对象后通过对应法则输出成另一个对象，输入、对应法则、输出构成了函数的三个元素。
如果我们将函数本身理解成一个神奇的魔术盒子，不同的盒子内装着不同的生产程序，将扔进去的原材料加工成为各式各样的产品。将水果扔进生产果汁的箱子里即会得到果汁饮料，将肉扔进生产烤肉的箱子里即能得到烤肉。
可以看到水果与肉是输入，果汁饮料与烤肉即为输出，对应法则即是盒子中装着的那神奇的生产程序。在第一个盒子里我们可以输入红彤彤的苹果，通过生产程序后，输出了甘甜的苹果汁，而在第二个盒子里，我们可以输入肥美鸡肉，通过生产程序后，输出了香喷喷的烤鸡肉。
将上述例子带入到我们曾经学过的函数符号中，即f（x），可以看出x为输入即原材料，f（x）为输出即产品，f为那生产程序即运算法则。这里有一个特别容易被误解的知识点，即认为f（x）为函数，而根据我们上述的定义中可以看出
f才是那个神奇的对应法则，f即是函数。
这样的话我们就能将上述魔术盒子符号化，即：
f（水果）=果汁       g（肉）=烤肉
万事万物皆有属于它的条件，这对于函数这个魔术盒子来说也是一样的。盒子虽然神奇，但它所装的生产程序只有一种，我们不可能指望往装有转换果汁程序的盒子中扔肉，并期待能产出什么怪东西来，这毫无意义。此刻我们限定了输入范围是水果，这个范围被称为定义域，而输入范围被限定后产生的输出范围则称之为上域。在例子中输入范围是所有的水果，而输出范围则是所有水果对应的果汁。
在这里的上域的概念会让人很难理解，毕竟大多数人在中学时期只接触到了值域这个概念。为了理解上域与值域的不同，我们再举一个例子：
h（动物）=腿的数量
在上述函数中，定义域为动物，对应关系是脚的数量，而上域则是在“脚的数量”这一对应法则下”腿可能会出现的实际数量。很显然在现实世界中腿的数量不可能是分数及负数，即在该法则下腿可能的实际数量是所有的非负整数的集合。
在我们的生活中不仅仅动物有腿，椅子、桌子等非生物在人类语言学的概念中也是可以拥有脚的。
例如h（桌子）=4，即桌子有4条腿，但因为桌子不是动物，所以在该函数下这没有任何意义。
在划定了定义域仅仅包含动物的基础上，h函数仅会输出动物的腿的数量，我们可以在这个范围内取任意值。而在该函数中，值域即为所有动物可能出现的腿数量的集合。
例如h（猫）=4，h（狗）=4，即猫与狗都有4条腿。
所以可以得出结论：
上域是在函数这个对应法则下所有可能出现的输出的范围
值域则是在所有输出结果中，在定义域的限定下实际输出的范围，即值域为上域的子集
 既然是子集那意味着在一些情况下，值域的本身等同于上域。 
我们还可以通过限制定义域的范围来限制输出的内容，例如设置：
g（长了翅膀会飞的动物）=脚的数量
在这种情况下我们将猫猫狗狗都排除了后，将函数范围限制在长了翅膀的动物会飞的动物中，当然那些没长翅膀但会飞的动物便被排除出去了。
例如g（小鸟）=2，即小鸟有2条腿。
从上述数学符号中可以看到函数的三大要素：定义域、值域、对应法则。而上述要素想要构成函数还需要两个最重要的条件：
函数中每一个输入有且仅会产生一个输出
输入在定义域内可以取任意值

试想一下，在炎炎烈日下快被阳光烤化掉了的你在街边的自动售货机上选择自己想要的冷饮，期待着那冰凉快乐水的落下，而实际蹦出来的竟然是一罐热到不行的苦涩黑咖啡。亦或者是疯狂按按钮后，始终听不到饮料瓶落底的声音。估计此情此景下，你瞬间会产生将售货机变成废铁的想法。
而这对函数本身来说也是一样的，当同一输出却产生了不同的输入时，其输出会因便毫无规律而失去所有的意义。这让我想起《三体》中汪淼与丁仪谈论的那一枚到处乱跑的桌球，当黑球数次撞击白球后，白球要不然飞上了天花板，要不然像麻雀一样到处乱飞，亦或是以接近光速的速度飞出了太阳系。这在函数中就好似那台随便蹦出饮料的自动贩卖机一样，无法得出有价值的规律。输出唯一性便是为了让函数这一工具得出有价值的输出。
以上便是函数的概念，一个能将现实现象抽象化为抽象模型的科学工具。
三、没有函数的世界
假如没有函数，我们会如何解释周围的现象呢？想要看到没有函数的生活，我们需要回到科学方法还未形成的文明初期。
在萌芽阶段的人类文明都在为生存竭尽所能，地震、干旱、洪水、瘟疫，这些自然灾害时刻威胁着人们的生存，亘古时期的我们虽然能通过文字乃至图画生动形象地描绘出这些自然现象本身，却无法运用有限的经验知识来解释它们产生的缘由，人们便只能选择向超自然力量寻求解释和慰藉，然而存在于现实世界外的幻想终究没办法提供一个对应法则来帮助人们认识生活中的问题。
直至古希腊时代，爱奥尼亚地区的哲学家们尝试运用脑中的理性，而非超自然力量来解释自然现象。德谟克里特提出万事万物不可无限分割，他假定所有的物质均由不可分割的最小单位原子构成，所有的原子在空间中到处运动，除非受到干扰，否则会一直运动下去。亚里士多德将万事万物分门别类的思想最终演变成了如今界门纲目科属种的生物分类法。毕达哥拉斯通过直角三角形的斜边（最长的边）的平方等于其他两边的平方这一定理而闻名于世。这些自然哲学的概念成为了现代科学的前身。

尽管古希腊的哲学家通过自己的方式解释着这个世界，他们的分析方式依旧包含着缺陷。不同于向幻想中的神祇追求解释，对应法则虽然回归了现实，但难以用一种客观的输入得到一个客观的输出。这些自然现象均通过一种简略的、主观性的归类方法进行解释，而当该解释在另一种条件下无法解释现象的时候，哲学家们就像给破衣服打补丁一样为其提供另外一种主观的解释。
打个比方，将当一个原子撞向另一个原子作为输入，而输出是原子随后不沿着原有直线运动，一名学者可能将对应法则解释为与另一个原子发生了碰撞，另一名学者或许又将对应法则解释为撞到一个巨人才不沿着原有直线运动，又或者还有一位学者将现象归因于原子的心情不好。大家都埋着头用自己那套定义系统去解释，不存在任何的客观的科学方法。
再例如亚里士多德提出重物下落的速度与其重量成正比，而当发现物体下落会逐渐加速的时候，他便提出越靠近地面时物体便会更喜悦地加速前进。想要完成这一实验，首先需要能判断物体速度快慢的方法，同时你还需要手段判断物体的喜悦程度。或许你得赞美一下机魂让它更开心一些。就算这样的对应法则是真的，在没有定量分析的前提下实验也没有意义，毕竟，你怎么知道抛球时球心情的好坏呢？
由此可以看到在没有类似函数的科学工具下人们遇到的困境。没有统一且客观的标准以至于大家都在各自的体系下解释，谁也说服不了谁。就像两小儿辩日中那样，看起来都正确却无法验证谁对谁错，五花八门的解释体系之间根本无法进行比较。
同时缺乏定量描述事物的工具使得我们难以准确表达自然现象。就拿重物下落来说，在数学工具还未发明出来的时，人们如何用语言和文字符号来表述物下落的过程呢？是轻柔的下落，还是重重的砸到了地上。那到什么程度才算是“轻柔”，还是“重重的”呢？"轻柔“的、和“”重重的“之间又相差多少？
这愈发说明了函数的重要性。作为将现实现象抽象化为概念符号的科学工具，它能更精确、客观地表述自然现象发生的同时，还能为试验后的结论是否符合客观事实本身提供了可供比较的可能，即科学中的可证伪性。
四、函数与生活
“万事万物皆可编程”
充满自信的程序员高呼着这一口号，而当我们对比了编程与函数的运作过程，就会发现计算机编程其实就来源于函数。至此我们也理直气壮地高呼到：万事万物皆可函数！！！

函数出现在我们生活中的各个角落，无论是日常工作中五花八门的工作规范，还是我们超市收银台前计算价格时的那一份细致，它们太过于寻常以至于我们很难意识到他们的存在。在认识到它的重要性后，便可以将函数思维这一强有力的工具运用到我们的实践生活中去。
还记得开始学做菜的时候的窘境吗？正所谓眼睛学会了，脑子没学会，在我模仿着视频网站和小红书上各类美食攻略的诸多步骤时，总归会漏掉一些什么，以至于一锅好端端的食材变成了真正意义上的暗黑料理。迷茫的我对菜谱中所述百思不得其解？什么叫作少量的醋？什么叫做适量的酱油？我到底该如何判断多少量的调味料能调配出相应的咸度、甜度或酸度呢？
迷茫的我此刻想到了函数，通过控制合适的输入来保证输出稳定的成品，这便是生活中我们都能掌握的科研过程。在做饭前我先会回忆起原料加入的顺序，随后利用勺子、碗等作为调料的度量衡。是加入1勺醋还是1勺糖？是先放鸡蛋？还是先放番茄？何时放入这些调味料？我的火力在此刻该如何控制？而在成品制作完成并品尝后，其口味咸淡酸甜本身便能与所放的调味料对应起来，我们还可以将做出来的成品给自己的家人朋友品尝，看看他们的感受。
做饭前的准备、烹饪时的步骤再加上成品后的风味，这些均可以与函数一一对应。其中：
输入=1. 原料用量  2.原料品种  3.调味料用量  4.调味料品种 
对应法则=1.制作过程中原料及调味料的放入顺序  2.火力控制  3.水分控制  
输出=1.成品后的风味    2.成品后可供人数
将以上的信息系统性地记录下来后，在下一次做菜的时候便可以按照需求做相应调整。当我能清楚地认识到做菜过程中输入与输出之间的联系后，便能认识到问题究竟出在了哪里，无论是水放多放少，还是火力不够等等。我可以通过定量调整输入来确保输出我所需求的风味，亦或是通过调整对应法则来确保输出的稳定，即便我做出了更多的黑暗料理，均可以形成宝贵的经验。

这便是函数与我们的联系，日常生活中我们完全可以运用函数的思维来帮助我们的生活实践。在电脑游戏中摆弄更多的花样，在写文章的时候尝试各种各样的风格，在旅游前计划出与众不同的行动路线。通过输入、输出、对应法则之间的联系，我们能更深刻地认识到我们与现实世界的联系，并帮助我们解决生活中的一个又一个问题。
五、最后
通过介绍函数是什么、没有函数会发生什么、以及函数与生活中的关系，我们能清晰地认识到这样一个科学概念所能起到的作用。  
在我们了解函数的同时，我们也能知晓一个道理：科学本身离我们的生活并不遥远。
科学并不是仅存在于枯燥的教材教辅中，也不仅存在于那些所谓旷世奇才的聪慧头脑中，它就在我们的身边。它是普通的，它能被任何人所掌握。无论出身贵贱与学识的多寡，我们每一人都能通过学习与实践掌握科学工具与方法论来帮助我们解决现实生活中的一系列问题。
所以好好学习吧，将科学工具运用到我们的日常生活中去。