正交、耦合与偏微分共轭方程：游戏中数学结构可能的存在方向——以RA2为例

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摘要
本文基于红色警戒2原版（RA2 V1.006）的战斗系统分析，总结其战斗系统乐趣点和一些单位设计原则：正交设计、耦合设计和共轭设计，并简要提供可能存在的偏微分方程切入点。以老师对NS方程的理解与游戏是数学系统相结合，得到结论：玩游戏是用“玩”的方式来求解游戏系统 。
关键词：游戏分析、单位设计、数学结构
1.系统分析
红警2主要有三个系统——建造，战斗和经济系统，科技系统其实包含在建造系统中。三个系统相互联系。战斗系统分两个层面——战略层面和战术层面。战略层面就是什么时候打，在哪个地方打；战术层面就是用什么打，怎么打。又因为其它系统和因素与战斗系统有交互，我把它们归在元层面里。
1.1战略层面
第一个乐趣点是阵营和国家的选择 。红警2分两个阵营，盟军和苏军，它们有不同的基础设施和兵种，苏军偏前期，盟军偏后期。不同国家也有不同的特色单位。因此在开局选择国家时就已开始战略博弈。

 第二个是地图资源点的争夺 。游戏资源有两种：必要资源和中立资源。必要资源又有一次性和持续性的区别。中立资源，尤其是油田，也总是玩家的争夺热点。而第一个占领油田的玩家能额外返还1000的金钱，类似“第一滴血”的奖励，鼓励玩家在前期做好规划发展。 

 游戏中其实还有一种资源，就是电力。但玩家电力不足不会产生致命性的伤害，且电厂一般不属于地图上的资源点，在此不予考虑。 

其实选阵营有点像BP环节 ，只不过有Pick没有Ban。而且就红警本身而言法国和伊拉克出场率最高，如果真有BP那它们两国就Ban位买房。中立资源可以视为野区。
接下来是地理战略点的抢夺 。红警中地理战略点分两种，一种是优势地形，就是高地，高打低有优势。另一种是连通度比较特殊的区域，如极高连通度的地区，就是战略枢纽，比如这个地图的中心位置，直接连接其他国家的地块；零连通度区域也很特殊，比如这个悬崖，玩家可以在其上造建筑，但是对手如果没有对空单位，就很难打到这个地方，一定程度上可视为安全区；最后是可变连通度的区域，比如桥梁，可以被玩家炸毁，也可以被维修。这些区域常常作为战斗发生的热点地区。

第四个战略乐趣点是信息获取 。红警中初始存在战争迷雾，一旦被单位探开就不会再出现。因此开局的探路和守地图是很刺激的比拼。到后期盟军有间谍卫星提供全图视野，也有裂缝产生器用来制造视野盲区。 

掌握敌方的动向对于自己的发展和战斗规划非常重要，很多时候自己的行动取决于对对手行为的预判。关键地形也需要尽早占据。
2.战术层面
第一个乐趣点是兵种克制 。红警中也采用了经典的三角克制 关系，——大兵克坦克，坦克克建筑，部分建筑克大兵，比如巨炮。这种克制关系并不绝对，量变会引起质变，易出现反克制 的情况，所以克制箭头是双向的。同时红警中还有很多其他单位，如步兵中的警犬、辐射，战车工厂中的恐怖机器人等，它们克制自己类型的单位，因此兵种之间还存在自我克制 。这种双向克制和自克制，大大丰富了游戏的策略深度。

承接兵种克制的是兵种搭配 。在了解对方信息的情况下，需要根据对方阵容来调整搭配己方部队。典型的通用策略如坦克配狗，降低攻速；大兵扛伤，吸引火力。敌方大兵多，可以出辐射或放狗。
红警中并非只有陆军单位，空军的侵扰和海军的协同也很关键。三位一体全面打击是红警战斗的爽点之一。
有些特殊的单位，可以与其它单位组合变形，产生独特的效果，比如盟军防空车加工程师可以变成维修车，苏军防空车可以改造成炸弹车等。
非战斗人员在红警中也是战斗的一部分，工程师可以夺取对方建筑，间谍可以偷取金钱或升级等，是兵种搭配时需要考虑的部分。这些工作多在战斗之前完成，战斗中也可根据局势变化随机应变。

红警作为即时战略游戏，比较考验玩家的操作和反应速度 。这是经过前期准备迎来的一波爆发，是玩家主要的乐趣来源之一。比如在进攻时需要调整队形，行军途中容易使部队拉长，形成一字长蛇阵，这样进攻很吃亏，需要左右摇摆调整。
红警不限军队数上限，可随时切屏，也使得多线操作成为可能。而这需要玩家眼观六路耳听八方，对玩家本身也是挑战。在双方军力相差不大时，分出少量部队绕后偷袭，可能能获取关键成果。
红警地图中有随机出现的箱子 供拾取，箱子内容也是随机的，可能出现金钱、全球地图等。箱子不捡一段时间后会消失，刷新在别的地方，因此捡箱子需要玩家敏锐的侦察和较快的手速。

 超级武器作为游戏内的终极杀器，总能勾起玩家的乐趣。四种超级武器各有特色，也有炫酷的动画效果刺激视觉。而具体的使用时机和使用策略需要玩家在战斗前或战斗中自行判断。 

最后的战术乐趣点来源于玩家的游戏技巧和游戏理解。在整个游戏系统搭建完成的情况下，就会存在一些机制能够被玩家利用。比如第一个图片，三星单位不攻击敌方矿车，不会分一星单位获得的经验。第二个在敌方进攻时立刻下一个地堡，能吸收伤害方便反打。还有路径偷、强制攻击矿石等。
比较巧妙的是空军单位坠落有伤害，如果飞机轰炸后血量不多，在灵巧的飞行走位操作下，就可以使用坠机伤害摧毁敌方建筑。

红警由于固定视角，导致建筑会遮挡一部分空地，如果有单位藏在这里就不易被发现，可以救急。（名场面来自2016年的冠军争夺赛）

再比如把巨炮摆成三角位置，任何方向进攻都会同时受到三门巨炮的攻击。这些战术策略来源于玩家对游戏机制和系统的理解，无论是发现者还是传播者、使用者，都能在战斗中感受到魅力和乐趣。
3.元层面
首先是地图设计 。地图是战斗的发生地，是整个游戏的起始点。玩家数量和位置、资源数量和分布都对整个游戏的战斗有重要影响。地图方面还有一点，就是平坦地形的占比 也很重要。崎岖地形和海面无法放置大部分建筑。比如这两张地图，第一个玩家数量多，8人，相距很近，资源极少，没有矿石每人只有一个油田，因此战斗一定是快节奏的，而且会很激烈，没有容错空间。第二个地图，同样8名玩家但比第一张图大得多，黄色和紫色都是矿石，资源多且分布合理，节奏不会太快，前期有发育空间。
从这两个地图对比也可看出，地图的设计还会影响必要资源——当建筑都没地方摆放时，平坦的空地也变成了必要资源需要抢夺。

第二个乐趣点来源于随机性 。红警作为比较硬核的战略游戏，单位并不存在“暴击”、“闪避”的设定，但即使如此游戏中也包含少量的随机元素，如前所述的箱子就是随机性的来源。有专门的地图调整了箱子刷新的数量和间隔，使整个游戏体验截然不同，随机性成为战斗的直接影响因素。

那如果关闭“地图出现箱子”的选项，红警中就没有随机性了吗？当然不是。这个最终的随机性，隐藏在卖建筑的机制中 。出售建筑会返还一定数量的大兵，但具体给几个是随机的。看似一两个大兵没什么作用，但卖基地不同——有时能卖出来工程师，有时不能。而这一个工程师，有时就可以直接决定一局的胜负。

红警中的建筑也涉及战斗乐趣。广义的单位当然包括建筑，游戏目标要求玩家摧毁敌方所有建筑，建筑也是军事单位的生产来源。那具体建筑如何影响战斗呢？首先是建筑摆位。当地盘比较小的时候，可能出现建筑堵住坦克路的情况，当玩家在战斗中发现这一点，为时已晚。当玩家距离比较近时，建筑可以直接延伸建造到对方家里，趁还没反应过来直接出兵速战速决。游戏中的防御建筑也是为战斗而生，分配动态军队和静态防御也需要玩家仔细斟酌。 

最后的乐趣来源于战斗节奏 。战斗中经常出现这样的情况：对方的单位前来进攻，我方防守成功击退敌方；短暂休整、维修建造后发起反击，结果又被对方挡住攻势。双方单位数量整体呈现出此消彼长的模式，与生物种群数量变化类似。即时战略游戏却出现类似回合制的节奏形式，是因为即时制本质上是回合制的微分形式 （回合时间无限小，小到以帧率为单位）。因此其节奏呈现出短程即时、长程回合 的特点。 

整体来看，游戏通过一个个小节奏，如单位建造时间、军队移动时间、矿车采矿间隔等，涌现出了回合制的大模式——建造、战斗、建造、战斗，如此循环直至一方在一次次战斗中积累足够优势，或通过其他方式打破平衡，夺取胜利。这样一松一紧的节奏使玩家长久沉浸而不觉疲惫。
2.移植策略
2.1战略层面
2.1.1阵营和国家：正交设计
要突出不同阵营和国家的特色。正交试验设计 ，是研究多因素多水平对结果的影响的一种试验设计方法。应该采取“正交设计”的方式，使每个单位在额外维度有独一无二的效果。这一点红警在大部分情况已经做到，但有一点问题，如德国的坦克杀手。

在地理战略点和信息博弈方面，我们通过预计的游戏定位给出游戏时长、节奏和难度，根据这些来设计地图。战争迷雾可以分有无，也可以将一次性就能探开的迷雾改成持续性的、失去视野又会出现的类型。这些主要交给地图设计，而手游和端游并不太影响地图设计、国家和阵营设计。 

受影响较大的是资源点的设计。除了前述的资源拆解，还要考虑资源采集和使用过程。这就又包括单位设计和经济系统。下面对着三项详细分析。
红警1.006版有一个问题，就是像德国和苏俄等国家的特色单位比较鸡肋。在正交设计下重新考虑苏德两国单位。磁能坦克能够穿越围墙攻击，但实际很少造围墙；坦克杀手对坦克伤害高一点，但对其他单位伤害几乎没有。基于原设计思路，对苏俄可以让磁能坦克增加射程，能穿透建筑（原本只能穿透围墙）；电磁攻击可溅射至附近敌方单位。这样改动后效果类似盟军的光棱，但为确保正交性，符合苏军“坚实可靠”的艺术风格，其射程应小于光棱坦克，移速应适当降低，价格也适当增加。

德国的坦克杀手可以允许进行“部署”，部署后防御增加。在原版中没有任何坦克可以蹲下，这就给德国独特的优势。不改动其对于士兵和建筑的伤害问题，否则太过强大。允许部署相当于“移动地堡”，且对坦克特攻，又能被士兵克制，相对平衡；也应适量增加其售价。
以上可以看出，正交设计并不是说单位要完全不同，坦克仍然保留坦克的基本元素，只是多了一些特色。所以就像正交分解，只要求在其他维度方面有分量即可。这样就能增加策略深度和重复可玩性。

2.1.2地图和信息设计
在地理战略点和信息博弈方面，通过游戏定位给出游戏时长、节奏和难度，根据这些来设计地图。战争迷雾可以分有无，也分一次性或持续性。这些主要交给地图设计和单位设计，而手游或端游不太影响地图、国家和阵营的设计。重点在于玩家与地图和单位之间的交互方式完全不同。红警2中，鼠标左键单击可选中一个单位，左键框选选择多个单位，T键可全选同类单位，鼠标右键取消选择；地图跟随鼠标在屏幕边界的移动而移动，或在小地图上左键点击移动。而手游没有键盘和鼠标，如何确保玩家在单位选择和地图移动上保持相同的体验？如果玩家连移动视角和单位选择都不舒服，又怎么能带给他丰富的战斗体验？

我列举几个自己的想法。对于单位选择，可以触屏单击选择一个单位，双击选择屏幕内同类单位，三击选择所有同类单位；双指拉动是框选。这是把屏幕触控映射为鼠标点击，符合操作习惯。手机自带麦克风，能否利用它进行语音识别，通过语言命令执行单位选取操作？这个要考虑技术难度和游玩环境，比如公共场合就不方便通过语音发出指令。
对于地图移动方式，可以考虑在未选中单位时，滑动屏幕移动地图；选中单位时，只能通过点击小地图来移动地图，而点击屏幕则会移动单位。这样区分比较明确，但是在玩家习惯之前，会造成玩家操作不连贯。
另一种在选择单位的情况下，屏幕左侧部分区域固定用来移动地图，右侧在选中单位时固定用来移动单位。这样给玩家双指操作区分效果，习惯后操作应该比较流畅。有一个注意点——每张地图都要在左侧留出额外的余量，避免出现玩家无法将单位移至地图最左侧的情况。
或者，也可以让点击屏幕立刻松手，判定为单位移动；长按屏幕左右滑动，判定为移动地图。这样比较符合玩家直觉，但瞬间点击和长时间停留的判定的参数要调整好，双指的判定也要调整，要判断玩家是在边移动单位边移动地图，还是在改变双手框选的范围。
当然，还有强制攻击、移动攻击、路径点等操作也需要移植考量。总之，地图和单位的操作应符合直觉，才能带给玩家丝滑流畅的体验。
2.1.3资源点设计
战略层面最后一点是资源点的设计。为什么说它特殊，因为红警里的资源收集单位，也就是矿车，非常特殊。它具有很高的生命值，不容易被打爆；而且受到攻击有专门的提示音 (Ore miner under attack)，这是其他任何单位甚至基地车都没有的。苏盟双方矿车还有各自的特色功能。它的重要性源自红警的经济系统——矿车是唯一能够给玩家提供经济的单位，不考虑油田因为不能自主建造。所以在战斗中对矿区的争夺和对矿车的偷袭一定会发生。

这就出现问题。手机切屏不如电脑快，矿车被攻击玩家不能及时查看情况，操作延误就可能导致玩家损失宝贵的矿车，影响资源争夺。
我的解决思路是，首先思考数值方面能否增强。如果提高矿车血量/移速等，本来它生命值就高，再增加会使玩家有一个肉盾单位；原本矿车就可以用来吸引火力和抗伤害，这样的改动不利于平衡性。那增加矿车攻击能力，使其可以自我防卫？如果这样，较高的生命值加前期不差的攻击力，又能采矿，全方位优于坦克，也不好。
那么可以设定受击阈值和集合点。每个矿车都设置一个生命值阈值，当低于该值会自动前往一个玩家预设的集合地点。这样既保留矿区和矿车的战略特色，又能避免延误战机的损失，应该可行。
既然能够自动集合，也可以再加入“一键集合”或“一键撤退”按钮。长按可以出现轮盘，允许玩家细化选择类型。
最后，作为手游如果还是觉得繁琐，那就直接删除矿车单位，不必再担心矿车的问题。以矿场代替矿车，相当于矿车被永久固定到矿区，类似尤里版本的矿车。其实更像玩家直接占领油田，由争夺矿区改为争夺油田。如果这样就需要提高油田的产出，且允许玩家在指定位置建造油田。
2.2战术层面
具体操作依靠游戏最终的操作方式、UI布局和战斗建造等系统综合决定；超级武器仍要满足单位设计原则，如果直接移植，可适当增加核弹的效果，毕竟与闪电风暴相比还是稍弱。技巧理解方面，这就由整个游戏确定后的系统、机制和美术，还有单位特点共同决定。为什么美术也会影响技巧理解？
比如红警中的“假卖基地”操作。因为卖建筑有动画，是倒放建造画面的过程；而卖建筑又给大兵，不能凭空出现，有一个从建筑中走出来的过程。所以大兵一定会在建筑卖掉的动画播放完之前出现。基地车又比较特殊，既是陆军非战斗单位又能展开变成建筑，这样就有了操作空间：在卖掉基地的动画结束前，选中基地车再点击空地，基地车移动的指令就会覆盖卖掉的指令，从而实现假卖基地刷大兵的效果。这就是游戏机制与游戏美术共同作用的结果。

以上三方面都与整个游戏系统有关，战术层面的移植就重点讲兵种克制搭配。兵种的设计应当满足三个原则：突出不同单位特点，不同单位间有联动，数值满足一定关系，才能确保策略深度和重复可玩。我总结为“正交设计”、“耦合设计”和“共轭设计”。正交设计之前已经介绍，以下介绍另外两个。
2.2.1单位设计：耦合设计
耦合就是单位之间有互动，实现1+1>2的效果，正如电能生磁、磁又感电。

红警中也有该思想的体现，比如之前介绍过的防空车。它本身移速快，但防御差血量低，对地攻击能力弱，不算强单位。但是，通过与其他单位的耦合，具体体现在允许承载其他单位，来运输和改变功能，就将原本脆弱的防空车变成了战争利器。盟军防空车的维修和路径偷、装狙击手或冷冻兵都很有用；苏军防空车装炸弹人，化身炸弹车破法国巨炮，也是世界冠军月亮3的绝妙操作。 

具体使用方面，我发现警犬可以进入盟军防空车，但不产生任何特殊效果。如果适当放弃一些真实性，可以改为防空车彻底失去攻击能力，而让移速进一步增加（因为警犬与防空车移速都较快），成为探路、捡箱子、或吸引火力的首选。（吸引火力比如让巨炮掉头，或在光棱塔充能之前就能穿越防线等）。
但单位耦合需要注意一个情况，那就是避免出现“套娃”，比如塔科夫之前背包可以相互嵌套的“空间折叠科技”。红警就避免这一情况，如图，运输船无法进入另一个运输船。

2.2.2单位设计：共轭设计
其思想来源于不确定性原理。

粒子的位置和动量不能同时精确测量，时间和能量等不对易的变量也是如此。游戏中有许多共轭变量 ，如单位攻击力和防御/血量，伤害和攻速/移速等，一个值大另一个就得小一些。
当然实际数值公式大概率不是反比例函数，此处仅作定性的分析。
如果以伤害和移速作为共轭量，类似不确定性关系式，有

符号需要考虑与原关系式是否一致。显然如果固定速度，秒伤不能无限增大，所以这里的符号是小于等于 号，而非大于等于。
这个方程看不出什么结论，接下来可以展开里面各项。秒伤就是伤害量除以时间，速度就是位移量除以时间。

即时制可以取极限 ，Δ就变成d，微分。而秒伤和速度不只与时间有关，比如阿珂站在敌方背后必定暴击，而在其他位置必定不暴击，这样他的伤害就不仅与时间有关，还与坐标位置有关；红警高地打低处也类似。所以微分符号d又要变成偏微分符号∂ 。综上，我们可以得到

即伤害和坐标对时间的偏导小于等于一个常数 。它的特点在于非线性偏微分 ，复杂度和混沌性从中涌现。
需要考虑一个问题：为什么是小于等于？如果一方取等于，另一方取小于，是否不公平？
我认为即使取小于也不意味不公平。比如王者的马可波罗，一技能攻速快但基础伤害不高，可认为取的是小于号（比如构建一个攻速低于马克一技能但伤害量更高，使得乘积更大的英雄）。但其作为技能，能够触发普攻法球效果，后期神装加扫出被动，一技能伤害就很高，甚至出现大于号的情况。所以这个小于等于并不是严格的要求，也不是不公平。

再比如一项取0，如黄忠架炮台、雅典娜复活时速度为0，不等式也是严格小于，但没有玩家觉得不公平。红警中的维修车是伤害取0，但有奇效。
其实我们就能发现取小于号，恰好是单位正交性的体现 。
（注：在实际数值设计中，需要将不同单位的特色机制造成的伤害也纳入关系式中来考虑；不考虑的＜号只是正交性的体现，而非实际数值设计的角度）
我的老师林教授曾阐述过一个非常深刻的见解——做实验是用实验的方式解NS方程 。NS方程大概长这样，大部分条件下无法在数学上直接得到解析解，需要用实验或数值仿真的手段来求解。

而游戏是可以用数学语言精确描述的逻辑规则系统。结合以上思想，玩游戏其实就是用“玩”的方式来求解游戏系统，只不过这种求解很特别，它是人的直接沉浸式体验 。这是我理解游戏设计的一个视角，对游戏的复杂性、涌现性和可玩性也许有所帮助。
2.3元层面
类似的，地图设计的几个要素已经在之前分析过，具体设计与端游差别不大。建筑要满足设计准则，数值与游戏定位匹配，还要考虑美术风格。动画对于战斗系统的影响已经举例。镜头视角也会影响，比如建筑后面藏单位；还考虑建筑能否旋转等等，这些都会影响战斗，提供策略深度。而战斗节奏是从整个游戏系统的小节奏中涌现，属于二阶控制系统，不方便直接控制。
所以元层面对策略深度和重复可玩影响最大的就是随机性。要带给玩家“新奇”，才能产生“惊喜”。红警内的随机性较少，可以考虑增加一些，比如允许单位暴击，这会削弱一定程度的竞技性，但可增强趣味性；加入更多箱子和特殊效果；也可以利用不确定性“开盲盒”，比如就用取等号的共轭变量关系式来生成单位等。
游戏之外也存在随机性，最大的随机来源就是其他玩家。比如MOBA游戏，5V5地图永远就是那一张，根据克制关系在BP后阵容也差不多，为什么玩家还会年复一年地玩？就是因为自己的队友和对手总在变化。当然广阔的英雄池可供选择也是重要原因之一，所以红警也需要适当增加更多阵营和国家。
粗略估算一下，如果有m个k人地图，n个国家，则不同的情况数量为mn∙A_k^k，就假设只有10张4人地图，10个国家，这已经很少了，结果也有2400中不同搭配。更不用说增加地图数量和国家数量、综合2人到8人全部地图的可能性了。
由此也可以看出，利用红警2已有的元素，完全可以做出一个“类MOBA地图”：光棱塔/磁暴线圈是防御塔，充能的磁暴线圈/巨炮守高地，光棱坦克是射手，天启坦克是坦克。其实红警中有单位可以做辅助，就是磁电坦克，很像钟馗可以把敌方单位拉过来。小灰熊是小兵，野区有油田和机场等，箱子内的加成(增加攻击/防御/移速等)作为装备等等。毕竟MOBA本身也是由RTS逐渐演化而来 。

结论
通过对RA2的综合回顾，总结出三条单位设计准则：正交设计、耦合设计和共轭设计，同时对可能存在的数学结构进行分析，得出一个偏微分方程；并以此展示理解游戏的一个视角：玩游戏其实就是用“玩”的方式来求解游戏系统，只不过这种求解很特别，它是人的直接沉浸式体验  。希望对游戏设计能有所帮助。叙述难免有纰漏和不足，恳请各位批评指正。
参考文献
正交设计在亚当斯的《游戏设计基础》中简要介绍，但正交实验设计的方法与之完全不同，在思想上有相通之处；文中部分图片来源于网络，侵删。其余内容均为作者“研究成果”。